Решение задачи 13 Вариант 2

Задание 13. Вариант 2. Дана выборка из \(n = 10\) объектов: X: 2,5; 4,0; 3,7; 2,9; 2,4; 4,1; 3,6; 3,9; 2,8; 4,2 Y: 17,4; 20,1; 18,2; 17,0; 16,5; 15,9; 18,1; 18,5; 17,0; 20,5 1) Нахождение выборочного коэффициента корреляции. Для расчетов составим вспомогательную таблицу сумм: \[ \sum X_i = 2,5 + 4,0 + 3,7 + 2,9 + 2,4 + 4,1 + 3,6 + 3,9 + 2,8 + 4,2 = 34,1 \] \[ \sum Y_i = 17,4 + 20,1 + 18,2 + 17,0 + 16,5 + 15,9 + 18,1 + 18,5 + 17,0 + 20,5 = 179,2 \] \[ \sum X_i^2 = 6,25 + 16 + 13,69 + 8,41 + 5,76 + 16,81 + 12,96 + 15,21 + 7,84 + 17,64 = 120,57 \] \[ \sum Y_i^2 = 302,76 + 404,01 + 331,24 + 289 + 272,25 + 252,81 + 327,61 + 342,25 + 289 + 420,25 = 3231,18 \] \[ \sum X_i Y_i = 43,5 + 80,4 + 67,34 + 49,3 + 39,6 + 65,19 + 65,16 + 72,15 + 47,6 + 86,1 = 616,34 \] Вычислим средние значения: \[ \bar{x} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{34,1}{10} = 3,41 \] \[ \bar{y} = \frac{\sum Y_i}{n} = \frac{179,2}{10} = 17,92 \] Вычислим выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения: \[ \sigma_x = \sqrt{\frac{\sum X_i^2}{n} - \bar{x}^2} = \sqrt{\frac{120,57}{10} - 3,41^2} = \sqrt{12,057 - 11,6281} = \sqrt{0,4289} \approx 0,6549 \] \[ \sigma_y = \sqrt{\frac{\sum Y_i^2}{n} - \bar{y}^2} = \sqrt{\frac{3231,18}{10} - 17,92^2} = \sqrt{323,118 - 321,1264} = \sqrt{1,9916} \approx 1,4112 \] Выборочный коэффициент корреляции: \[ r_b = \frac{\frac{1}{n} \sum X_i Y_i - \bar{x} \bar{y}}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{\frac{616,34}{10} - 3,41 \cdot 17,92}{0,6549 \cdot 1,4112} = \frac{61,634 - 61,1072}{0,9242} = \frac{0,5268}{0,9242} \approx 0,57 \] Оценка тесноты связи: так как \( 0,5 < |r_b| < 0,7 \), то связь между признаками заметная, прямая. 2) Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции (\( \alpha = 0,01 \)). Основная гипотеза \( H_0: r_{gen} = 0 \). Наблюдаемое значение критерия: \[ T_{nabl} = r_b \sqrt{\frac{n-2}{1-r_b^2}} = 0,57 \sqrt{\frac{10-2}{1-0,57^2}} = 0,57 \sqrt{\frac{8}{1-0,3249}} = 0,57 \sqrt{11,85} \approx 0,57 \cdot 3,44 = 1,96 \] Критическая точка распределения Стьюдента при \( \alpha = 0,01 \) и числе степеней свободы \( k = n - 2 = 8 \): \[ t_{kr}(0,01; 8) = 3,36 \] Так как \( |T_{nabl}| < t_{kr} \) (\( 1,96 < 3,36 \)), гипотеза \( H_0 \) принимается. Коэффициент корреляции незначим (связь случайна). 3) Доверительный интервал для коэффициента корреляции (\( \gamma = 0,95 \)). При \( n < 20 \) используем формулу с параметром Стьюдента \( t \). Для \( \gamma = 0,95 \) и \( k = 8 \), \( t = 2,31 \). \[ r_b - t \sqrt{\frac{1-r_b^2}{n-2}} \leq r \leq r_b + t \sqrt{\frac{1-r_b^2}{n-2}} \] \[ 0,57 - 2,31 \cdot \frac{1}{\sqrt{11,85}} \leq r \leq 0,57 + 2,31 \cdot \frac{1}{\sqrt{11,85}} \] \[ 0,57 - 0,67 \leq r \leq 0,57 + 0,67 \] \[ -0,10 \leq r \leq 1,24 \] С учетом ограничений коэффициента корреляции: \( (-0,10; 1,00] \). 4) Выборочное уравнение линии регрессии Y на X. Уравнение имеет вид: \( y - \bar{y} = \rho_{yx} (x - \bar{x}) \), где \( \rho_{yx} = r_b \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \). \[ \rho_{yx} = 0,57 \cdot \frac{1,4112}{0,6549} \approx 1,228 \] \[ y - 17,92 = 1,228 (x - 3,41) \] \[ y = 1,228x - 4,187 + 17,92 \] \[ y = 1,228x + 13,733 \] 5) Построение графиков. Для построения эмпирической линии (ломаной) наносятся точки из таблицы. Для теоретической линии регрессии строим прямую по уравнению \( y = 1,228x + 13,733 \). Точка 1: \( x = 2,5 \Rightarrow y = 16,8 \) Точка 2: \( x = 4,2 \Rightarrow y = 18,9 \) Через эти две точки проводится прямая линия регрессии.