Решение задачи: Признаки подобия треугольников

Хорошо, давайте решим эти задачи по геометрии. Контрольная работа по теме «Признаки подобия треугольников». Вариант 1 1. По рисунку 1 вычислите значение OB, отношение AC : BD, отношение площадей треугольников AOC и BOD, если угол A равен углу B, DO = 6 см, AO = 5 см, CO = 4 см. Решение: Дано: Угол A = углу B DO = 6 см AO = 5 см CO = 4 см Найти: OB, AC : BD, S_AOC : S_BOD 1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. У нас дано, что угол A = углу B. Углы AOC и BOD являются вертикальными, значит, угол AOC = углу BOD. По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольник AOC подобен треугольнику BOD. 2. Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD} \] Подставим известные значения: \[ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6} \] Найдем OB: \[ 5 \cdot 6 = 4 \cdot BO \] \[ 30 = 4 \cdot BO \] \[ BO = \frac{30}{4} \] \[ BO = 7.5 \text{ см} \] 3. Найдем отношение AC : BD: \[ \frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). \[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: OB = 7.5 см AC : BD = 2 : 3 S_AOC : S_BOD = 4 : 9 2. В треугольнике ABC, AB = 4 см, BC = 7 см, AC = 6 см, а в треугольнике MNK MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если угол A равен 80°, а угол B равен 60°. Решение: Дано: Треугольник ABC: AB = 4 см, BC = 7 см, AC = 6 см. Угол A = 80°, угол B = 60°. Треугольник MNK: MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найти: Углы треугольника MNK. 1. Сначала найдем третий угол треугольника ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. Угол C = 180° - Угол A - Угол B Угол C = 180° - 80° - 60° = 180° - 140° = 40°. 2. Проверим, подобны ли треугольники ABC и MNK. Для этого сравним отношения их сторон. Рассмотрим отношения сторон: \[ \frac{AB}{MK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{BC}{KN} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{AC}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Так как отношения всех соответствующих сторон равны (AB/MK = BC/KN = AC/MN = 1/2), то треугольник ABC подобен треугольнику MKN по третьему признаку подобия (по трем сторонам). 3. Из подобия треугольников следует, что их соответствующие углы равны. Угол M соответствует углу A, поэтому Угол M = Угол A = 80°. Угол K соответствует углу B, поэтому Угол K = Угол B = 60°. Угол N соответствует углу C, поэтому Угол N = Угол C = 40°. Ответ: Углы треугольника MNK: Угол M = 80°, Угол K = 60°, Угол N = 40°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках M и K соответственно так, что MK || AC, BM : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника BMK, если периметр треугольника ABC равен 25 см. Решение: Дано: Треугольник ABC. Прямая MK пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответственно. MK || AC. BM : AM = 1 : 4. Периметр треугольника ABC (P_ABC) = 25 см. Найти: Периметр треугольника BMK (P_BMK). 1. Так как MK || AC, то треугольник BMK подобен треугольнику BAC (по двум углам: угол B общий, угол BMK = углу BAC как соответственные при параллельных прямых MK и AC и секущей AB). 2. Найдем коэффициент подобия. Дано BM : AM = 1 : 4. Это означает, что если BM = x, то AM = 4x. Тогда сторона AB = BM + AM = x + 4x = 5x. Коэффициент подобия \(k = \frac{BM}{AB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}\). 3. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. \[ \frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k \] \[ \frac{P_{BMK}}{25} = \frac{1}{5} \] Найдем P_BMK: \[ P_{BMK} = 25 \cdot \frac{1}{5} \] \[ P_{BMK} = 5 \text{ см} \] Ответ: Периметр треугольника BMK равен 5 см. 4. В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см². Решение: Дано: Трапеция ABCD, AD || BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. AD = 12 см. BC = 4 см. Площадь треугольника AOD (S_AOD) = 45 см². Найти: Площадь треугольника BOC (S_BOC). 1. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Так как AD || BC, то: Угол OBC = углу ODA (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Угол OCB = углу OAD (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Углы BOC и AOD являются вертикальными, значит, угол BOC = углу AOD. Следовательно, треугольник BOC подобен треугольнику DOA по первому признаку подобия (по двум углам). 2. Найдем коэффициент подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD}\). \[ k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 \] \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \] \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{1}{9} \] 4. Подставим известное значение S_AOD: \[ \frac{S_{BOC}}{45} = \frac{1}{9} \] Найдем S_BOC: \[ S_{BOC} = 45 \cdot \frac{1}{9} \] \[ S_{BOC} = 5 \text{ см}^2 \] Ответ: Площадь треугольника BOC равна 5 см².