Задача: На рисунке \(BD = BF\), \(AD = CF\). Докажите, что \(\triangle ABC\) — равнобедренный.
Дано:
- \(\triangle ABC\)
- Точки \(D\) и \(F\) лежат на стороне \(AC\)
- \(BD = BF\)
- \(AD = CF\)
Доказать: \(\triangle ABC\) — равнобедренный.
Доказательство:
1. Рассмотрим \(\triangle BDF\).
По условию \(BD = BF\). Это означает, что \(\triangle BDF\) является равнобедренным.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \(\angle BDF = \angle BFD\).
3. Углы \(\angle BDA\) и \(\angle BDF\) являются смежными. Их сумма равна \(180^\circ\).
То есть, \(\angle BDA + \angle BDF = 180^\circ\).
Отсюда \(\angle BDA = 180^\circ - \angle BDF\).
4. Углы \(\angle BFC\) и \(\angle BFD\) также являются смежными. Их сумма равна \(180^\circ\).
То есть, \(\angle BFC + \angle BFD = 180^\circ\).
Отсюда \(\angle BFC = 180^\circ - \angle BFD\).
5. Так как \(\angle BDF = \angle BFD\) (из пункта 2), то из равенств для смежных углов следует, что \(\angle BDA = \angle BFC\).
6. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBF\).
- По условию \(AD = CF\).
- По условию \(BD = BF\).
- Мы доказали, что \(\angle BDA = \angle BFC\) (из пункта 5).
7. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
В нашем случае, стороны \(AD\) и \(BD\) и угол \(\angle BDA\) в \(\triangle ABD\) равны сторонам \(CF\) и \(BF\) и углу \(\angle BFC\) в \(\triangle CBF\).
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CBF\).
8. Из равенства треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBF\) следует равенство их соответствующих сторон и углов.
В частности, сторона \(AB\) в \(\triangle ABD\) равна стороне \(CB\) в \(\triangle CBF\).
То есть, \(AB = CB\).
9. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
Так как \(AB = CB\), то \(\triangle ABC\) является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.