Задача 3.
На сторонах KM и MO треугольника KMO отмечены точки C и B так, что KC=CM, MB=BO, CB=5см. Найдите сторону KO.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник KMO.
2. Точка C является серединой стороны KM, так как KC = CM.
3. Точка B является серединой стороны MO, так как MB = BO.
4. Отрезок CB соединяет середины двух сторон треугольника KMO. Следовательно, CB является средней линией треугольника KMO.
5. По свойству средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
6. В данном случае, CB параллельна KO и \(CB = \frac{1}{2} KO\).
7. Нам дано, что CB = 5 см.
8. Подставим известное значение в формулу: \(5 = \frac{1}{2} KO\).
9. Чтобы найти KO, умножим обе части уравнения на 2: \(KO = 5 \cdot 2\).
10. \(KO = 10\) см.
Ответ: 10 см.
Задача 4.
Человек ростом 1,5м стоит на расстоянии 16 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь?
Решение:
1. Представим ситуацию в виде двух подобных прямоугольных треугольников.
2. Первый треугольник образован фонарем, столбом и концом тени человека. Высота этого треугольника - это высота фонаря (H), а основание - это расстояние от столба до конца тени.
3. Второй треугольник образован человеком, его тенью и линией, идущей от макушки человека к концу его тени. Высота этого треугольника - это рост человека (h), а основание - это длина его тени (t).
4. Расстояние от столба до человека равно 16 шагам.
5. Длина тени человека равна 4 шагам.
6. Общее расстояние от столба до конца тени человека равно \(16 + 4 = 20\) шагов.
7. Рост человека \(h = 1,5\) м.
8. Из подобия треугольников следует отношение: \(\frac{H}{\text{расстояние от столба до конца тени}} = \frac{h}{\text{длина тени человека}}\).
9. Подставим известные значения: \(\frac{H}{20} = \frac{1,5}{4}\).
10. Чтобы найти H, выразим его из пропорции: \(H = \frac{1,5 \cdot 20}{4}\).
11. \(H = \frac{30}{4}\).
12. \(H = 7,5\) м.
Ответ: 7,5 м.
Задача 5.
Площади двух подобных треугольников ABC и A1B1C1 равны 25 и 16. Найдите сторону AC, если сходственная ей сторона A1C1 другого треугольника равна 8.
Решение:
1. Обозначим площадь треугольника ABC как \(S_{ABC}\) и площадь треугольника A1B1C1 как \(S_{A1B1C1}\).
2. Дано: \(S_{ABC} = 25\), \(S_{A1B1C1} = 16\).
3. Обозначим сторону AC как \(a\) и сходственную ей сторону A1C1 как \(a_1\).
4. Дано: \(a_1 = 8\).
5. Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, который в свою очередь равен отношению сходственных сторон.
6. Формула: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A1B1C1}} = \left(\frac{a}{a_1}\right)^2\).
7. Подставим известные значения в формулу: \(\frac{25}{16} = \left(\frac{a}{8}\right)^2\).
8. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(\sqrt{\frac{25}{16}} = \sqrt{\left(\frac{a}{8}\right)^2}\).
9. Получим: \(\frac{5}{4} = \frac{a}{8}\).
10. Чтобы найти \(a\), умножим обе части уравнения на 8: \(a = \frac{5}{4} \cdot 8\).
11. \(a = 5 \cdot 2\).
12. \(a = 10\).
Ответ: 10.