4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
4.1 Задание к контрольной работе №1
Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее:
1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.
Схема для варианта 27 представлена на Рисунке 4.7.
Значения элементов схемы для варианта 27 возьмем из таблицы:
Вариант 27:
- \(R_1 = 4.70\) Ом
- \(R_2 = 390\) Ом
- \(R_3 = 90\) Ом
- \(R_4 = 120\) Ом
- \(R_5 = 13.5\) Ом
- \(R_6 = 7.5\) Ом
- \(E_1 = 16.5\) В
- \(E_2 = 12\) В
- \(I_{K1} = 0.5\) А
- \(I_{Ж2} = 0.04\) А
Теперь приступим к составлению системы уравнений по законам Кирхгофа.
Сначала пронумеруем ветви и выберем направления токов в них. У нас 6 ветвей, поэтому будет 6 токов.
Обозначим узлы: a (левый верхний), b, m, c, d, f (правый нижний).
Ветви и токи:
- Ветвь с \(I_{K1}\) и \(R_1\): ток \(I_1\). Направление: вниз.
- Ветвь с \(E_1\): ток \(I_2\). Направление: вверх.
- Ветвь с \(R_5\): ток \(I_3\). Направление: вниз.
- Ветвь с \(R_6\): ток \(I_4\). Направление: вниз.
- Ветвь с \(I_{Ж2}\) и \(R_2\): ток \(I_5\). Направление: вправо.
- Ветвь с \(R_3\): ток \(I_6\). Направление: вправо.
- Ветвь с \(R_4\): ток \(I_7\). Направление: вправо.
- Ветвь с \(E_2\): ток \(I_8\). Направление: вверх.
У нас 4 узла: b, m, c, d.
Количество независимых уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов) равно \(N_{узлов} - 1\). У нас 4 узла, значит, 3 уравнения.
Первый закон Кирхгофа (для узлов):
Узел b:
\[I_1 + I_2 - I_3 - I_5 = 0\]Узел m:
\[I_5 - I_6 - I_8 = 0\]Узел c:
\[I_6 + I_7 - I_8 = 0\]Узел d:
\[I_3 + I_4 - I_7 = 0\]Проверим, что одно из уравнений является линейной комбинацией других. Например, если сложить уравнения для узлов b, m, c, d, то все токи сократятся. Поэтому выберем 3 независимых уравнения, например, для узлов b, m, d.
Уравнения по первому закону Кирхгофа:
1. Узел b:
\[I_1 + I_2 - I_3 - I_5 = 0\]2. Узел m:
\[I_5 - I_6 - I_8 = 0\]3. Узел d:
\[I_3 + I_4 - I_7 = 0\]Теперь второй закон Кирхгофа (для контуров). Количество независимых уравнений по второму закону Кирхгофа равно \(N_{ветвей} - N_{узлов} + 1\). У нас 8 ветвей и 4 узла, значит \(8 - 4 + 1 = 5\) уравнений.
Выберем независимые контуры:
Контур 1 (левый): a-b-d-a
\[-I_1 R_1 + E_1 - I_4 R_6 = 0\]Контур 2 (центральный): b-m-d-b
\[-I_5 R_2 - I_6 R_3 + I_4 R_6 + I_3 R_5 = 0\]Контур 3 (правый): m-c-d-m
\[-I_8 E_2 - I_7 R_4 + I_6 R_3 = 0\]Контур 4 (верхний): a-b-m-a
\[-I_1 R_1 + E_1 - I_5 R_2 = 0\]Контур 5 (нижний): d-c-f-d
\[I_4 R_6 - I_7 R_4 = 0\]У нас есть источники тока \(I_{K1}\) и \(I_{Ж2}\). Это упрощает задачу, так как токи в ветвях с источниками тока известны или связаны с ними.
Ветвь с \(I_{K1}\) и \(R_1\): ток \(I_1 = I_{K1}\).
Ветвь с \(I_{Ж2}\) и \(R_2\): ток \(I_5 = I_{Ж2}\).
Тогда система уравнений упрощается. У нас 8 неизвестных токов, но 2 из них заданы источниками тока.
Итак, \(I_1 = I_{K1} = 0.5\) А
\(I_5 = I_{Ж2} = 0.04\) А
Теперь перепишем уравнения с учетом известных токов:
Уравнения по первому закону Кирхгофа:
1. Узел b:
\[I_{K1} + I_2 - I_3 - I_{Ж2} = 0\] \[0.5 + I_2 - I_3 - 0.04 = 0\] \[I_2 - I_3 = -0.46\]2. Узел m:
\[I_{Ж2} - I_6 - I_8 = 0\] \[0.04 - I_6 - I_8 = 0\] \[I_6 + I_8 = 0.04\]3. Узел d:
\[I_3 + I_4 - I_7 = 0\]Уравнения по второму закону Кирхгофа:
1. Контур a-b-d-a:
\[-I_{K1} R_1 + E_1 - I_4 R_6 = 0\] \[-0.5 \cdot 4.70 + 16.5 - I_4 \cdot 7.5 = 0\] \[-2.35 + 16.5 - 7.5 I_4 = 0\] \[14.15 - 7.5 I_4 = 0\] \[7.5 I_4 = 14.15\] \[I_4 = \frac{14.15}{7.5} \approx 1.8867 \text{ А}\]2. Контур b-m-d-b:
\[-I_{Ж2} R_2 - I_6 R_3 + I_4 R_6 + I_3 R_5 = 0\] \[-0.04 \cdot 390 - I_6 \cdot 90 + I_4 \cdot 7.5 + I_3 \cdot 13.5 = 0\] \[-15.6 - 90 I_6 + 7.5 I_4 + 13.5 I_3 = 0\]3. Контур m-c-d-m:
\[-E_2 - I_7 R_4 + I_6 R_3 = 0\] \[-12 - I_7 \cdot 120 + I_6 \cdot 90 = 0\] \[-12 - 120 I_7 + 90 I_6 = 0\] \[90 I_6 - 120 I_7 = 12\]Теперь у нас есть система из 5 уравнений с 5 неизвестными токами (\(I_2, I_3, I_4, I_6, I_7, I_8\)).
Из уравнения для контура a-b-d-a мы уже нашли \(I_4\):
\[I_4 = 1.8867 \text{ А}\]Подставим \(I_4\) в уравнение для контура b-m-d-b:
\[-15.6 - 90 I_6 + 7.5 \cdot 1.8867 + 13.5 I_3 = 0\] \[-15.6 - 90 I_6 + 14.15025 + 13.5 I_3 = 0\] \[-1.44975 - 90 I_6 + 13.5 I_3 = 0\] \[13.5 I_3 - 90 I_6 = 1.44975\]Теперь у нас есть система из 4 уравнений с 4 неизвестными (\(I_2, I_3, I_6, I_7, I_8\)):
1. \(I_2 - I_3 = -0.46\) (из узла b)
2. \(I_6 + I_8 = 0.04\) (из узла m)
3. \(I_3 + I_4 - I_7 = 0 \Rightarrow I_3 + 1.8867 - I_7 = 0 \Rightarrow I_3 - I_7 = -1.8867\) (из узла d)
4. \(13.5 I_3 - 90 I_6 = 1.44975\) (из контура b-m-d-b)
5. \(90 I_6 - 120 I_7 = 12\) (из контура m-c-d-m)
Из уравнения 1: \(I_2 = I_3 - 0.46\)
Из уравнения 3: \(I_7 = I_3 + 1.8867\)
Подставим \(I_7\) в уравнение 5:
\[90 I_6 - 120 (I_3 + 1.8867) = 12\] \[90 I_6 - 120 I_3 - 120 \cdot 1.8867 = 12\] \[90 I_6 - 120 I_3 - 226.404 = 12\] \[90 I_6 - 120 I_3 = 12 + 226.404\] \[90 I_6 - 120 I_3 = 238.404\]Теперь у нас система из двух уравнений с \(I_3\) и \(I_6\):
A. \(13.5 I_3 - 90 I_6 = 1.44975\)
B. \(-120 I_3 + 90 I_6 = 238.404\)
Сложим уравнения A и B:
\[(13.5 I_3 - 90 I_6) + (-120 I_3 + 90 I_6) = 1.44975 + 238.404\] \[13.5 I_3 - 120 I_3 = 239.85375\] \[-106.5 I_3 = 239.85375\] \[I_3 = \frac{239.85375}{-106.5} \approx -2.2521 \text{ А}\]Теперь найдем \(I_6\) из уравнения A:
\[13.5 (-2.2521) - 90 I_6 = 1.44975\] \[-30.39915 - 90 I_6 = 1.44975\] \[-90 I_6 = 1.44975 + 30.39915\] \[-90 I_6 = 31.8489\] \[I_6 = \frac{31.8489}{-90} \approx -0.3539 \text{ А}\]Теперь найдем остальные токи:
\(I_2 = I_3 - 0.46 = -2.2521 - 0.46 = -2.7121 \text{ А}\)
\(I_7 = I_3 + 1.8867 = -2.2521 + 1.8867 = -0.3654 \text{ А}\)
\(I_8 = 0.04 - I_6 = 0.04 - (-0.3539) = 0.04 + 0.3539 = 0.3939 \text{ А}\)
Итак, токи во всех ветвях схемы:
- \(I_1 = I_{K1} = 0.5\) А
- \(I_2 = -2.7121\) А
- \(I_3 = -2.2521\) А
- \(I_4 = 1.8867\) А
- \(I_5 = I_{Ж2} = 0.04\) А
- \(I_6 = -0.3539\) А
- \(I_7 = -0.3654\) А
- \(I_8 = 0.3939\) А
Отрицательные значения токов означают, что их фактическое направление противоположно выбранному нами при составлении уравнений.