Решение задачи: Первый признак равенства треугольников

Домашнее задание по теме "Первый признак равенства треугольников"

Вариант 1

Дано:

\(\triangle ROM\), \(\triangle KOM\)

\(PM = MK\)

\(KO = 8\)

\(\angle PMO = \angle KMO\)

\(\angle OPM = 15^\circ\)

Доказать: \(\triangle POM = \triangle KOM\)

Найти:

1) \(PO\)

2) \(\angle AKB\)

3) \(\angle BKO\)

Доказательство:

1) Закрасьте разными цветами треугольники, равенство которых нужно доказать.

(В тетради нужно закрасить треугольник \(POM\) одним цветом, например, синим, и треугольник \(KOM\) другим цветом, например, красным.)

2) Отметьте на рисунке всё, что дано в задаче.

(На рисунке нужно отметить:

• Отрезки \(PM\) и \(MK\) одинаковыми штрихами (например, одной черточкой), чтобы показать их равенство.
• Угол \(\angle PMO\) и \(\angle KMO\) одинаковыми дугами, чтобы показать их равенство.
• Длину отрезка \(KO = 8\).
• Величину угла \(\angle OPM = 15^\circ\).

3) Докажите равенство треугольников, используя первый признак.

Рассмотрим треугольники \(\triangle POM\) и \(\triangle KOM\).

У них:

1. Сторона \(PM = MK\) (по условию).
2. Угол \(\angle PMO = \angle KMO\) (по условию).
3. Сторона \(OM\) – общая для обоих треугольников.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, \(\triangle POM = \triangle KOM\).

4) Найдите числовые значения указанных в задаче элементов треугольников.

Так как \(\triangle POM = \triangle KOM\), то соответствующие элементы этих треугольников равны.

1) Найдем \(PO\).

Из равенства треугольников \(\triangle POM\) и \(\triangle KOM\) следует, что сторона \(PO\) в \(\triangle POM\) соответствует стороне \(KO\) в \(\triangle KOM\).

Значит, \(PO = KO\).

По условию, \(KO = 8\).

Следовательно, \(PO = 8\).

2) Найдем \(\angle AKB\).

Угол \(\angle AKB\) является смежным с углом \(\angle OKM\).

Из равенства треугольников \(\triangle POM\) и \(\triangle KOM\) следует, что \(\angle OPM = \angle OKM\).

По условию, \(\angle OPM = 15^\circ\).

Значит, \(\angle OKM = 15^\circ\).

Углы \(\angle AKB\) и \(\angle OKM\) являются вертикальными углами (если точки A, K, B лежат на одной прямой, а O, K, M на другой, пересекающихся в точке K). Если же A, K, B - это точки на прямой, проходящей через K, а O, K, M - точки на другой прямой, проходящей через K, то \(\angle AKB\) и \(\angle OKM\) - вертикальные углы.

Вертикальные углы равны.

Следовательно, \(\angle AKB = \angle OKM = 15^\circ\).

(Примечание: Если точки A, K, B не лежат на одной прямой, а A, K, O и B, K, M - это прямые, то \(\angle AKB\) и \(\angle OKM\) не являются вертикальными. Однако, судя по рисунку, A, K, B лежат на одной прямой, а O, K, M - на другой, пересекающихся в K. Если же A, K, O и B, K, M - это прямые, то \(\angle AKB\) и \(\angle OKM\) - это разные углы. Предполагаем, что A, K, B - это точки на прямой, а O, K, M - на другой, и они пересекаются в K.)

3) Найдем \(\angle BKO\).

Углы \(\angle BKO\) и \(\angle AKM\) являются вертикальными углами.

Углы \(\angle BKO\) и \(\angle OKM\) являются смежными углами, если A, K, B - прямая.

Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).

Значит, \(\angle BKO + \angle OKM = 180^\circ\).

Мы знаем, что \(\angle OKM = 15^\circ\).

Тогда \(\angle BKO = 180^\circ - \angle OKM = 180^\circ - 15^\circ = 165^\circ\).

Ответ:

1) \(PO = 8\)

2) \(\angle AKB = 15^\circ\)

3) \(\angle BKO = 165^\circ\)