Решение задачи по ВиС для 9 класса: Стрелок в тире

Хорошо, давайте решим эти задачи по теории вероятностей. Домашнее задание 1. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна \(p=0,6\). Найти вероятность того, что стрелку потребуется: а) ровно 5 попыток; б) от 2 до 4 попыток. Решение: Пусть \(p\) – вероятность попадания в мишень, \(p=0,6\). Пусть \(q\) – вероятность промаха, \(q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4\). Стрелок стреляет до первого попадания. Это задача на геометрическое распределение. Вероятность того, что первое попадание произойдет на \(k\)-й попытке, равна \(P(X=k) = q^{k-1} \cdot p\). а) Найти вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток. Это означает, что первые 4 попытки были промахами, а 5-я попытка – попадание. \(P(X=5) = q^{5-1} \cdot p = q^4 \cdot p\) \(P(X=5) = (0,4)^4 \cdot 0,6\) \(P(X=5) = 0,0256 \cdot 0,6\) \(P(X=5) = 0,01536\) Ответ: Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток, равна 0,01536. б) Найти вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток. Это означает, что стрелку потребуется 2, 3 или 4 попытки. Нужно найти сумму вероятностей \(P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X=2) = q^{2-1} \cdot p = q \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24\) \(P(X=3) = q^{3-1} \cdot p = q^2 \cdot p = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096\) \(P(X=4) = q^{4-1} \cdot p = q^3 \cdot p = (0,4)^3 \cdot 0,6 = 0,064 \cdot 0,6 = 0,0384\) Суммируем эти вероятности: \(P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)\) \(P(2 \le X \le 4) = 0,24 + 0,096 + 0,0384\) \(P(2 \le X \le 4) = 0,336 + 0,0384\) \(P(2 \le X \le 4) = 0,3744\) Ответ: Вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток, равна 0,3744. 2. Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q=1-p\). Найти вероятность события (вырази через \(p\) и \(q\)), заключающегося в том, что: а) успех случится при втором испытании; б) успех случится позже четвёртого испытания; в) успех случится не позже шестого испытания. Решение: Это также задача на геометрическое распределение. Вероятность того, что успех наступит на \(k\)-м испытании, равна \(P(X=k) = q^{k-1} \cdot p\). а) Успех случится при втором испытании. Это означает, что первое испытание было неудачным, а второе – успешным. \(P(X=2) = q^{2-1} \cdot p = q \cdot p\) Ответ: Вероятность того, что успех случится при втором испытании, равна \(q \cdot p\). б) Успех случится позже четвёртого испытания. Это означает, что успех наступит на 5-м, 6-м, 7-м и так далее испытаниях. Это эквивалентно тому, что первые 4 испытания были неудачными. \(P(X > 4) = P(\text{первые 4 испытания - неудачи})\) \(P(X > 4) = q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4\) Ответ: Вероятность того, что успех случится позже четвёртого испытания, равна \(q^4\). в) Успех случится не позже шестого испытания. Это означает, что успех наступит на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м, 5-м или 6-м испытании. Это событие является противоположным событию "успех случится позже шестого испытания" (то есть на 7-м или более позднем испытании). \(P(X \le 6) = 1 - P(X > 6)\) Событие \(X > 6\) означает, что первые 6 испытаний были неудачными. \(P(X > 6) = q^6\) Тогда: \(P(X \le 6) = 1 - q^6\) Ответ: Вероятность того, что успех случится не позже шестого испытания, равна \(1 - q^6\). 3. Сергей отправляет СМС-сообщение другу. Сеть не очень устойчивая, поэтому каждая попытка отправить СМС имеет вероятность успеха 0,7. На каждую попытку телефон тратит 1 секунду. Найти вероятность того, что: а) СМС будет отправлено со второй попытки; б) СМС будет отправлено не позже, чем через 3 секунды. Решение: Пусть \(p\) – вероятность успешной отправки СМС, \(p=0,7\). Пусть \(q\) – вероятность неудачи при отправке СМС, \(q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3\). Каждая попытка занимает 1 секунду. а) СМС будет отправлено со второй попытки. Это означает, что первая попытка была неудачной, а вторая – успешной. \(P(X=2) = q^{2-1} \cdot p = q \cdot p\) \(P(X=2) = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21\) Ответ: Вероятность того, что СМС будет отправлено со второй попытки, равна 0,21. б) СМС будет отправлено не позже, чем через 3 секунды. Это означает, что СМС будет отправлено на 1-й, 2-й или 3-й попытке, так как каждая попытка занимает 1 секунду. Нужно найти сумму вероятностей \(P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). \(P(X=1) = q^{1-1} \cdot p = q^0 \cdot p = 1 \cdot p = p = 0,7\) \(P(X=2) = q \cdot p = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21\) (уже рассчитано в пункте а) \(P(X=3) = q^{3-1} \cdot p = q^2 \cdot p = (0,3)^2 \cdot 0,7 = 0,09 \cdot 0,7 = 0,063\) Суммируем эти вероятности: \(P(X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\) \(P(X \le 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063\) \(P(X \le 3) = 0,91 + 0,063\) \(P(X \le 3) = 0,973\) Альтернативный способ: Событие "СМС будет отправлено не позже, чем через 3 секунды" является противоположным событию "СМС будет отправлено позже, чем через 3 секунды" (то есть на 4-й или более поздней попытке). \(P(X \le 3) = 1 - P(X > 3)\) Событие \(X > 3\) означает, что первые 3 попытки были неудачными. \(P(X > 3) = q^3 = (0,3)^3 = 0,027\) Тогда: \(P(X \le 3) = 1 - 0,027 = 0,973\) Ответ: Вероятность того, что СМС будет отправлено не позже, чем через 3 секунды, равна 0,973.