Дано:
Треугольник \(ABC\).
\(AD\) - медиана, то есть \(D\) - середина \(BC\).
\(BK\) - отрезок, проходящий через точку \(M\).
\(K\) лежит на \(AC\).
\(M\) - точка пересечения \(AD\) и \(BK\).
Найти отношение:
\(\frac{AK}{KC}\)
Условия:
а) \(M\) - середина \(AD\).
б) \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\).
Решение:
Для решения задачи через подобие треугольников, нам потребуется дополнительное построение.
Проведем прямую \(DE\) параллельно \(BK\) (или \(BM\)), где точка \(E\) лежит на стороне \(AC\).
Рассмотрим случай а) \(M\) - середина \(AD\).
1. Рассмотрим треугольник \(AD E\).
По построению, \(BM \parallel DE\).
Точка \(M\) - середина \(AD\) (по условию).
Так как \(BM \parallel DE\) и \(M\) - середина \(AD\), то по теореме Фалеса (или теореме о средней линии треугольника, примененной к треугольнику \(ADE\) с прямой \(BM\)), отрезок \(MK\) является средней линией треугольника \(ADE\), если \(K\) - середина \(AE\). Но \(K\) не обязательно середина \(AE\). По теореме Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
В треугольнике \(ADE\), прямая \(MK\) параллельна \(DE\). Если \(M\) - середина \(AD\), то \(K\) должна быть серединой \(AE\). Значит, \(AK = KE\).
2. Рассмотрим треугольник \(CBK\).
По построению, \(DE \parallel BK\).
Точка \(D\) - середина \(BC\) (так как \(AD\) - медиана).
Так как \(DE \parallel BK\) и \(D\) - середина \(BC\), то по теореме Фалеса, прямая \(DE\) отсекает на стороне \(CK\) отрезок \(CE\), равный \(EK\).
Значит, \(CE = EK\).
3. Соединяем результаты:
Из пункта 1: \(AK = KE\).
Из пункта 2: \(KE = EC\).
Следовательно, \(AK = KE = EC\).
Тогда \(AK\) составляет одну часть, а \(KC = KE + EC = AK + AK = 2AK\).
\(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2}\).
Ответ для а): \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}\).
---
Рассмотрим случай б) \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\).
1. Проведем то же дополнительное построение: прямую \(DE\) параллельно \(BK\) (или \(BM\)), где точка \(E\) лежит на стороне \(AC\).
2. Рассмотрим треугольник \(AD E\).
По построению, \(BM \parallel DE\).
Треугольник \(AMK\) подобен треугольнику \(ADE\) по двум углам (угол \(A\) - общий, \(\angle AMK = \angle ADE\) как соответственные углы при параллельных прямых \(BM\) и \(DE\) и секущей \(AD\)).
Из подобия треугольников \(AMK \sim ADE\):
\[ \frac{AM}{AD} = \frac{AK}{AE} \] Мы знаем, что \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\). Это означает, что \(MD = 2AM\).
Тогда \(AD = AM + MD = AM + 2AM = 3AM\).
Следовательно, \(\frac{AM}{AD} = \frac{AM}{3AM} = \frac{1}{3}\).
Подставляем это в отношение подобия:
\[ \frac{AK}{AE} = \frac{1}{3} \] Значит, \(AE = 3AK\).
3. Рассмотрим треугольник \(CBK\).
По построению, \(DE \parallel BK\).
Точка \(D\) - середина \(BC\) (так как \(AD\) - медиана).
Треугольник \(CDE\) подобен треугольнику \(CBK\) по двум углам (угол \(C\) - общий, \(\angle CDE = \angle CBK\) как соответственные углы при параллельных прямых \(DE\) и \(BK\) и секущей \(BC\)).
Из подобия треугольников \(CDE \sim CBK\):
\[ \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CK} \] Так как \(D\) - середина \(BC\), то \(CD = DB\). Значит \(CB = CD + DB = 2CD\).
Следовательно, \(\frac{CD}{CB} = \frac{CD}{2CD} = \frac{1}{2}\).
Подставляем это в отношение подобия:
\[ \frac{CE}{CK} = \frac{1}{2} \] Значит, \(CK = 2CE\).
4. Соединяем результаты:
Мы имеем \(AE = 3AK\).
Мы имеем \(CK = 2CE\).
Также \(AC = AE + EC\).
Из \(AE = 3AK\), получаем \(EC = AE - AK = 3AK - AK = 2AK\).
Теперь подставим \(EC = 2AK\) в \(CK = 2CE\):
\(CK = 2 \cdot (2AK) = 4AK\).
Нам нужно найти \(\frac{AK}{KC}\).
\(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{4AK} = \frac{1}{4}\).
Ответ для б): \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{4}\).
Краткое изложение для тетради:
Задача: Найти отношение \(\frac{AK}{KC}\).
Построение: Проведем прямую \(DE \parallel BK\), где \(E\) лежит на \(AC\).
Случай а) \(M\) - середина \(AD\).
1. В \(\triangle ADE\): \(BM \parallel DE\), \(M\) - середина \(AD\). По теореме Фалеса, \(K\) - середина \(AE\). Значит, \(AK = KE\).
2. В \(\triangle CBK\): \(DE \parallel BK\), \(D\) - середина \(BC\) (т.к. \(AD\) - медиана). По теореме Фалеса, \(E\) - середина \(CK\). Значит, \(KE = EC\).
3. Из \(AK = KE\) и \(KE = EC\) следует \(AK = KE = EC\).
4. Тогда \(KC = KE + EC = AK + AK = 2AK\).
5. \(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2}\).
Ответ а): \(\frac{1}{2}\).
Случай б) \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\).
1. В \(\triangle ADE\): \(BM \parallel DE\).
\(\triangle AMK \sim \triangle ADE\) (по двум углам).
\(\frac{AM}{AD} = \frac{AK}{AE}\).
Из \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\) следует \(MD = 2AM\).
Тогда \(AD = AM + MD = AM + 2AM = 3AM\).
Значит, \(\frac{AM}{AD} = \frac{AM}{3AM} = \frac{1}{3}\).
Следовательно, \(\frac{AK}{AE} = \frac{1}{3}\), или \(AE = 3AK\).
2. В \(\triangle CBK\): \(DE \parallel BK\).
\(\triangle CDE \sim \triangle CBK\) (по двум углам).
\(\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CK}\).
Так как \(D\) - середина \(BC\), то \(CB = 2CD\).
Значит, \(\frac{CD}{CB} = \frac{CD}{2CD} = \frac{1}{2}\).
Следовательно, \(\frac{CE}{CK} = \frac{1}{2}\), или \(CK = 2CE\).
3. Мы знаем \(AE = 3AK\).
Также \(AC = AE + EC\).
\(EC = AE - AK = 3AK - AK = 2AK\).
4. Подставим \(EC\) в выражение для \(CK\):
\(CK = 2 \cdot (2AK) = 4AK\).
5. \(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{4AK} = \frac{1}{4}\).
Ответ б): \(\frac{1}{4}\).