Практическая работа № 13
Тема: Решение задач на составление производственного плана при планировании технологического цикла эксплуатации машин и оборудования на транспорте.
Цель: Оценить относительную погрешность при точном и приближенном вычислении производных, заданной аналитически.
Задания:
1. В результате технического цикла были получены экспериментальные данные \(x\) и \(y\) (см. табл. 1).
2. В результате их выравнивания получена функция \(y=f(x)\). Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью \(y=ax+b\) (найти параметры \(a\) и \(b\)).
3. Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные, сделать чертеж.
Исходные данные:
Функция для выравнивания: \(y = \sqrt[4]{x} - b\)
Таблица 1:
| \(x\) |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
| \(y\) |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
1 |
Вариант 4: \(b=5\)
---
Решение для варианта 4 (\(b=5\)):
Часть 1: Аппроксимация экспериментальных данных линейной зависимостью \(y = ax + b\) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров \(a\) и \(b\) линейной зависимости \(y = ax + b\) методом наименьших квадратов, нам нужно решить систему нормальных уравнений:
\[
\begin{cases}
a \sum x_i^2 + b \sum x_i = \sum x_i y_i \\
a \sum x_i + b n = \sum y_i
\end{cases}
\]
где \(n\) - количество точек. В нашем случае \(n=6\).
Сначала вычислим необходимые суммы из Таблицы 1:
| \(x_i\) |
\(y_i\) |
\(x_i^2\) |
\(x_i y_i\) |
| 20 |
0,1 |
400 |
2 |
| 30 |
0,4 |
900 |
12 |
| 40 |
0,5 |
1600 |
20 |
| 50 |
0,6 |
2500 |
30 |
| 60 |
0,8 |
3600 |
48 |
| 70 |
1 |
4900 |
70 |
| Сумма |
\(\sum x_i = 270\) |
\(\sum y_i = 3,4\) |
\(\sum x_i^2 = 13900\) |
\(\sum x_i y_i = 182\) |
Теперь подставим эти значения в систему нормальных уравнений:
\[
\begin{cases}
13900a + 270b = 182 \\
270a + 6b = 3,4
\end{cases}
\]
Из второго уравнения выразим \(b\):
\(6b = 3,4 - 270a\)
\(b = \frac{3,4 - 270a}{6} = \frac{1,7 - 135a}{3}\)
Подставим это выражение для \(b\) в первое уравнение:
\(13900a + 270 \left( \frac{1,7 - 135a}{3} \right) = 182\)
\(13900a + 90 (1,7 - 135a) = 182\)
\(13900a + 153 - 12150a = 182\)
\(1750a = 182 - 153\)
\(1750a = 29\)
\(a = \frac{29}{1750} \approx 0,01657\)
Теперь найдем \(b\):
\(b = \frac{1,7 - 135 \cdot 0,01657}{3} = \frac{1,7 - 2,237}{3} = \frac{-0,537}{3} \approx -0,179\)
Таким образом, линейная зависимость, аппроксимирующая экспериментальные данные, имеет вид:
\(y = 0,01657x - 0,179\)
Часть 2: Выравнивание экспериментальных данных функцией \(y = \sqrt[4]{x} - b\) для \(b=5\).
Для варианта 4, \(b=5\), функция для выравнивания имеет вид:
\(y = \sqrt[4]{x} - 5\)
Вычислим значения \(y\) для каждого \(x\) из Таблицы 1, используя эту функцию:
| \(x_i\) |
\(\sqrt[4]{x_i}\) |
\(y_i = \sqrt[4]{x_i} - 5\) |
| 20 |
\(\sqrt[4]{20} \approx 2,1147\) |
\(2,1147 - 5 = -2,8853\) |
| 30 |
\(\sqrt[4]{30} \approx 2,3403\) |
\(2,3403 - 5 = -2,6597\) |
| 40 |
\(\sqrt[4]{40} \approx 2,5149\) |
\(2,5149 - 5 = -2,4851\) |
| 50 |
\(\sqrt[4]{50} \approx 2,6591\) |
\(2,6591 - 5 = -2,3409\) |
| 60 |
\(\sqrt[4]{60} \approx 2,7831\) |
\(2,7831 - 5 = -2,2169\) |
| 70 |
\(\sqrt[4]{70} \approx 2,8925\) |
\(2,8925 - 5 = -2,1075\) |
Сравним полученные значения с экспериментальными данными. Видно, что значения \(y\) для функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5\) сильно отличаются от экспериментальных данных (экспериментальные \(y\) положительные и близки к нулю, а вычисленные отрицательные). Это означает, что данная функция не подходит для выравнивания этих данных.
Возможно, в задании имелось в виду, что функция \(y = \sqrt[4]{x} - b\) является одной из двух линий, а вторая - это линейная аппроксимация. Однако, если функция \(y = \sqrt[4]{x} - b\) должна выравнивать данные, то параметр \(b\) должен быть подобран так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений.
Давайте перепроверим условие. "В результате их выравнивания получена функция \(y=f(x)\)". Это означает, что \(y=f(x)\) - это уже выровненная функция. А "3. \(y = \sqrt[4]{x} - b\)" - это исходные данные для выравнивания.
Если задача состоит в том, чтобы сравнить две линии:
1. Линейная аппроксимация \(y = ax + b\) (которую мы уже нашли).
2. Функция \(y = \sqrt[4]{x} - b\) с заданным \(b=5\).
Тогда мы должны оценить, какая из них лучше выравнивает экспериментальные данные. Для этого мы можем использовать сумму квадратов отклонений (СКО).
Для линейной аппроксимации \(y_1 = 0,01657x - 0,179\):
| \(x_i\) |
\(y_{i,эксп}\) |
\(y_{i,лин} = 0,01657x_i - 0,179\) |
\((y_{i,эксп} - y_{i,лин})^2\) |
| 20 |
0,1 |
\(0,01657 \cdot 20 - 0,179 = 0,3314 - 0,179 = 0,1524\) |
\((0,1 - 0,1524)^2 = (-0,0524)^2 = 0,002746\) |
| 30 |
0,4 |
\(0,01657 \cdot 30 - 0,179 = 0,4971 - 0,179 = 0,3181\) |
\((0,4 - 0,3181)^2 = (0,0819)^2 = 0,006708\) |
| 40 |
0,5 |
\(0,01657 \cdot 40 - 0,179 = 0,6628 - 0,179 = 0,4838\) |
\((0,5 - 0,4838)^2 = (0,0162)^2 = 0,000262\) |
| 50 |
0,6 |
\(0,01657 \cdot 50 - 0,179 = 0,8285 - 0,179 = 0,6495\) |
\((0,6 - 0,6495)^2 = (-0,0495)^2 = 0,002450\) |
| 60 |
0,8 |
\(0,01657 \cdot 60 - 0,179 = 0,9942 - 0,179 = 0,8152\) |
\((0,8 - 0,8152)^2 = (-0,0152)^2 = 0,000231\) |
| 70 |
1 |
\(0,01657 \cdot 70 - 0,179 = 1,1599 - 0,179 = 0,9809\) |
\((1 - 0,9809)^2 = (0,0191)^2 = 0,000365\) |
| Сумма квадратов отклонений (СКО) для линейной аппроксимации |
\(\sum (y_{i,эксп} - y_{i,лин})^2 \approx 0,012762\) |
Для функции \(y_2 = \sqrt[4]{x} - 5\):
| \(x_i\) |
\(y_{i,эксп}\) |
\(y_{i,ф} = \sqrt[4]{x_i} - 5\) |
\((y_{i,эксп} - y_{i,ф})^2\) |
| 20 |
0,1 |
-2,8853 |
\((0,1 - (-2,8853))^2 = (2,9853)^2 = 8,9120\) |
| 30 |
0,4 |
-2,6597 |
\((0,4 - (-2,6597))^2 = (3,0597)^2 = 9,3617\) |
| 40 |
0,5 |
-2,4851 |
\((0,5 - (-2,4851))^2 = (2,9851)^2 = 8,9108\) |
| 50 |
0,6 |
-2,3409 |
\((0,6 - (-2,3409))^2 = (2,9409)^2 = 8,6489\) |
| 60 |
0,8 |
-2,2169 |
\((0,8 - (-2,2169))^2 = (3,0169)^2 = 9,1017\) |
| 70 |
1 |
-2,1075 |
\((1 - (-2,1075))^2 = (3,1075)^2 = 9,6566\) |
| Сумма квадратов отклонений (СКО) для функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5\) |
\(\sum (y_{i,эксп} - y_{i,ф})^2 \approx 54,5917\) |
Сравнивая суммы квадратов отклонений:
СКО для линейной аппроксимации \(\approx 0,012762\)
СКО для функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5 \approx 54,5917\)
Очевидно, что сумма квадратов отклонений для линейной аппроксимации значительно меньше, чем для функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5\). Это означает, что
линейная аппроксимация \(y = 0,01657x - 0,179\) лучше выравнивает экспериментальные данные.
Часть 3: Чертеж.
Для построения чертежа нам понадобятся следующие точки:
1. Экспериментальные точки (из Таблицы 1).
2. Точки для линейной аппроксимации \(y = 0,01657x - 0,179\).
3. Точки для функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5\).
Построим график, на котором будут отображены экспериментальные точки, линия линейной аппроксимации и линия функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5\).
(Здесь должен быть чертеж. Поскольку я текстовый помощник, я не могу нарисовать его напрямую. Однако я могу описать, как его построить.)
Описание чертежа:
1. Начертите систему координат с осью \(x\) (горизонтальная) и осью \(y\) (вертикальная).
2. Отметьте экспериментальные точки: (20; 0,1), (30; 0,4), (40; 0,5), (50; 0,6), (60; 0,8), (70; 1).
3. Постройте линию линейной аппроксимации \(y = 0,01657x - 0,179\). Для этого можно взять две точки, например:
При \(x=20\), \(y = 0,01657 \cdot 20 - 0,179 = 0,1524\). Точка (20; 0,1524).
При \(x=70\), \(y = 0,01657 \cdot 70 - 0,179 = 0,9809\). Точка (70; 0,9809).
Соедините эти две точки прямой линией. Эта линия должна проходить близко к экспериментальным точкам.
4. Постройте линию функции \(y = \sqrt[4]{x} - 5\). Для этого используйте вычисленные значения:
(20; -2
