Решение неравенства x²-7x+3 < 2x²+5x-10

Вот решение неравенства: Нам дано неравенство: \(x^2 - 7x + 3 < 2x^2 + 5x - 10\) Для начала перенесем все члены в одну сторону, чтобы справа остался ноль. Удобнее перенести все вправо, чтобы коэффициент при \(x^2\) остался положительным. \(0 < 2x^2 + 5x - 10 - x^2 + 7x - 3\) Теперь приведем подобные члены: \(0 < (2x^2 - x^2) + (5x + 7x) + (-10 - 3)\) \(0 < x^2 + 12x - 13\) Теперь у нас получилось квадратное неравенство: \(x^2 + 12x - 13 > 0\) Чтобы решить это неравенство, найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 12x - 13 = 0\). Используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = 12\), \(c = -13\). \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)\) \(D = 144 + 52\) \(D = 196\) Теперь найдем корни уравнения по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). \(x_1 = \frac{-12 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1}\) \(x_1 = \frac{-12 - 14}{2}\) \(x_1 = \frac{-26}{2}\) \(x_1 = -13\) \(x_2 = \frac{-12 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1}\) \(x_2 = \frac{-12 + 14}{2}\) \(x_2 = \frac{2}{2}\) \(x_2 = 1\) Мы нашли корни квадратного трехчлена: \(x_1 = -13\) и \(x_2 = 1\). Так как коэффициент при \(x^2\) (то есть \(a\)) равен \(1\), что больше нуля (\(a > 0\)), парабола направлена ветвями вверх. Это означает, что функция \(x^2 + 12x - 13\) будет больше нуля (то есть \(x^2 + 12x - 13 > 0\)) вне интервала между корнями. Нарисуем числовую прямую и отметим на ней корни \(-13\) и \(1\). Поскольку неравенство строгое (\(>\)), точки \(-13\) и \(1\) не включаются в решение, поэтому они будут "выколотыми" (пустыми кружками).

      +           -           +
<-----o-----------o----------->
     -13          1

На интервалах \((-\infty; -13)\) и \((1; +\infty)\) функция \(x^2 + 12x - 13\) будет положительной. Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-\infty; -13) \cup (1; +\infty)\) Ответ: \(x \in (-\infty; -13) \cup (1; +\infty)\)