Решение неравенства |x²-7x+3| < |2x²+5x-10|

Решим неравенство: \(|x^2-7x+3| < |2x^2+5x-10|\) Для решения неравенств такого вида, когда обе части содержат модуль, удобно возвести обе части в квадрат. Это можно сделать, так как обе части неравенства неотрицательны. \[(x^2-7x+3)^2 < (2x^2+5x-10)^2\] Перенесем все члены в левую часть: \[(x^2-7x+3)^2 - (2x^2+5x-10)^2 < 0\] Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Здесь \(a = x^2-7x+3\) и \(b = 2x^2+5x-10\). \[((x^2-7x+3) - (2x^2+5x-10)) \cdot ((x^2-7x+3) + (2x^2+5x-10)) < 0\] Раскроем скобки в каждой части: Первая скобка: \(x^2-7x+3 - 2x^2-5x+10 = (x^2-2x^2) + (-7x-5x) + (3+10) = -x^2-12x+13\) Вторая скобка: \(x^2-7x+3 + 2x^2+5x-10 = (x^2+2x^2) + (-7x+5x) + (3-10) = 3x^2-2x-7\) Теперь неравенство принимает вид: \[(-x^2-12x+13)(3x^2-2x-7) < 0\] Умножим первую скобку на \(-1\), чтобы старший коэффициент стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный: \[(x^2+12x-13)(3x^2-2x-7) > 0\] Теперь найдем корни каждого квадратного трехчлена. Для первого трехчлена: \(x^2+12x-13=0\) Используем формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196\) \(\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14\) \(x_1 = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13\) \(x_2 = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Значит, \(x^2+12x-13 = (x+13)(x-1)\). Для второго трехчлена: \(3x^2-2x-7=0\) \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88\) \(\sqrt{D} = \sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}\) \(x_3 = \frac{2 - 2\sqrt{22}}{2 \cdot 3} = \frac{2(1 - \sqrt{22})}{6} = \frac{1 - \sqrt{22}}{3}\) \(x_4 = \frac{2 + 2\sqrt{22}}{2 \cdot 3} = \frac{2(1 + \sqrt{22})}{6} = \frac{1 + \sqrt{22}}{3}\) Приближенные значения корней: \(\sqrt{22} \approx 4.69\) \(x_3 \approx \frac{1 - 4.69}{3} = \frac{-3.69}{3} \approx -1.23\) \(x_4 \approx \frac{1 + 4.69}{3} = \frac{5.69}{3} \approx 1.90\) Теперь у нас есть четыре корня: \(-13\), \(1\), \(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}\), \(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}\). Расположим их на числовой прямой в порядке возрастания: \(-13\), \(\frac{1 - \sqrt{22}}{3} \approx -1.23\), \(1\), \(\frac{1 + \sqrt{22}}{3} \approx 1.90\). Неравенство, которое мы решаем: \((x+13)(x-1)(3x^2-2x-7) > 0\). Так как старшие коэффициенты всех множителей положительны (у \(3x^2-2x-7\) старший коэффициент \(3\)), то на крайнем правом интервале (правее \(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}\)) произведение будет положительным. Далее знаки чередуются. Нарисуем числовую прямую и отметим корни: ``` -13 (1-sqrt(22))/3 1 (1+sqrt(22))/3 <-----o-------------o--------------------o-------------o-----> + - + - + ``` Интервалы, где произведение больше нуля: \(x \in (-\infty; -13)\) \(x \in \left(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1\right)\) \(x \in \left(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; +\infty\right)\) Окончательный ответ: \[x \in (-\infty; -13) \cup \left(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; +\infty\right)\]