Вот решение неравенства с модулями:
Нам дано неравенство:
\(|x^2 - 7x + 3| < |2x^2 + 5x - 10|\)
Для решения неравенств такого вида, когда обе части неравенства содержат модуль, и обе части неотрицательны, мы можем возвести обе части в квадрат. Это не изменит знак неравенства.
\((x^2 - 7x + 3)^2 < (2x^2 + 5x - 10)^2\)
Теперь перенесем все члены в левую часть:
\((x^2 - 7x + 3)^2 - (2x^2 + 5x - 10)^2 < 0\)
Мы можем использовать формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Здесь \(a = x^2 - 7x + 3\) и \(b = 2x^2 + 5x - 10\).
\(( (x^2 - 7x + 3) - (2x^2 + 5x - 10) ) \cdot ( (x^2 - 7x + 3) + (2x^2 + 5x - 10) ) < 0\)
Раскроем скобки в каждой из двух больших скобок:
Первая скобка:
\(x^2 - 7x + 3 - 2x^2 - 5x + 10\)
Приведем подобные члены:
\((x^2 - 2x^2) + (-7x - 5x) + (3 + 10)\)
\(-x^2 - 12x + 13\)
Вторая скобка:
\(x^2 - 7x + 3 + 2x^2 + 5x - 10\)
Приведем подобные члены:
\((x^2 + 2x^2) + (-7x + 5x) + (3 - 10)\)
\(3x^2 - 2x - 7\)
Теперь наше неравенство выглядит так:
\((-x^2 - 12x + 13)(3x^2 - 2x - 7) < 0\)
Чтобы было удобнее работать, вынесем минус из первой скобки:
\(-(x^2 + 12x - 13)(3x^2 - 2x - 7) < 0\)
Разделим обе части неравенства на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\((x^2 + 12x - 13)(3x^2 - 2x - 7) > 0\)
Теперь нам нужно найти корни каждого квадратного трехчлена.
1. Для первого трехчлена: \(x^2 + 12x - 13 = 0\)
Мы уже решали это уравнение в предыдущей задаче.
\(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196\)
\(\sqrt{D} = 14\)
\(x_1 = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13\)
\(x_2 = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Корни: \(-13\) и \(1\).
2. Для второго трехчлена: \(3x^2 - 2x - 7 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -7\)
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)\)
\(D = 4 + 84\)
\(D = 88\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}\)
\(x_3 = \frac{-(-2) - 2\sqrt{22}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 - \sqrt{22}}{3}\)
\(x_4 = \frac{-(-2) + 2\sqrt{22}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 + \sqrt{22}}{3}\)
Приблизительные значения корней:
\(\sqrt{22}\) примерно \(4.69\)
\(x_3 \approx \frac{1 - 4.69}{3} = \frac{-3.69}{3} \approx -1.23\)
\(x_4 \approx \frac{1 + 4.69}{3} = \frac{5.69}{3} \approx 1.90\)
Теперь у нас есть четыре корня:
\(x_1 = -13\)
\(x_2 = 1\)
\(x_3 = \frac{1 - \sqrt{22}}{3} \approx -1.23\)
\(x_4 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3} \approx 1.90\)
Расположим эти корни на числовой прямой в порядке возрастания:
\(-13\), \(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}\), \(1\), \(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}\)
-13 (1-sqrt(22))/3 1 (1+sqrt(22))/3
<-------o-------------o-------------o-------------o------->
Теперь нам нужно определить знаки произведения \((x^2 + 12x - 13)(3x^2 - 2x - 7)\) на каждом интервале.
Коэффициенты при \(x^2\) в обоих множителях положительны (\(1\) и \(3\)). Значит, на крайнем правом интервале (правее всех корней) произведение будет положительным. Далее знаки будут чередоваться, так как все корни имеют кратность 1.
+ - + - +
<-----o-----------o-----------o-----------o----------->
-13 (1-sqrt(22))/3 1 (1+sqrt(22))/3
Нам нужно, чтобы произведение было больше нуля (\(> 0\)). Это соответствует интервалам, где знак "+".
Так как неравенство строгое, все точки-корни являются "выколотыми".
Интервалы, где произведение положительно:
\((-\infty; -13)\)
\((\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1)\)
\((\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; +\infty)\)
Объединяем эти интервалы.
Ответ:
\(x \in (-\infty; -13) \cup \left(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; +\infty\right)\)
