График обратной функции Y = a^x: Подробное решение

Хорошо, давайте построим график обратной функции для \(Y = a^x\). Сначала вспомним, что такое обратная функция. Обратная функция – это функция, которая "отменяет" действие исходной функции. Если функция \(f(x)\) переводит \(x\) в \(y\), то обратная функция \(f^{-1}(y)\) переводит \(y\) обратно в \(x\). Для того чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами \(x\) и \(y\) в исходном уравнении и затем выразить \(y\). 1. Исходная функция: \(Y = a^x\) 2. Меняем местами \(x\) и \(y\): \(X = a^Y\) 3. Теперь нам нужно выразить \(Y\). Чтобы "достать" \(Y\) из показателя степени, мы используем логарифм. По определению логарифма, если \(X = a^Y\), то \(Y\) – это логарифм числа \(X\) по основанию \(a\). \(Y = \log_a X\) Итак, обратная функция для \(Y = a^x\) это \(Y = \log_a X\). Эта функция называется логарифмической функцией. Теперь давайте построим графики обеих функций на одной координатной плоскости. Для примера возьмем основание \(a = 2\). 1. График исходной функции: \(Y = 2^x\) * Если \(x = -2\), \(Y = 2^{-2} = 1/4\) * Если \(x = -1\), \(Y = 2^{-1} = 1/2\) * Если \(x = 0\), \(Y = 2^0 = 1\) * Если \(x = 1\), \(Y = 2^1 = 2\) * Если \(x = 2\), \(Y = 2^2 = 4\) Точки для \(Y = 2^x\): (-2, 1/4), (-1, 1/2), (0, 1), (1, 2), (2, 4). 2. График обратной функции: \(Y = \log_2 X\) * Для логарифмической функции \(Y = \log_a X\), область определения (допустимые значения для \(X\)) – это все положительные числа (\(X > 0\)). * Чтобы найти точки для логарифмической функции, можно просто поменять местами координаты точек исходной функции. * Если \(X = 1/4\), \(Y = \log_2 (1/4) = -2\) (потому что \(2^{-2} = 1/4\)) * Если \(X = 1/2\), \(Y = \log_2 (1/2) = -1\) (потому что \(2^{-1} = 1/2\)) * Если \(X = 1\), \(Y = \log_2 1 = 0\) (потому что \(2^0 = 1\)) * Если \(X = 2\), \(Y = \log_2 2 = 1\) (потому что \(2^1 = 2\)) * Если \(X = 4\), \(Y = \log_2 4 = 2\) (потому что \(2^2 = 4\)) Точки для \(Y = \log_2 X\): (1/4, -2), (1/2, -1), (1, 0), (2, 1), (4, 2). Как построить графики: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(X\) и \(Y\). 2. Отметьте точки для функции \(Y = 2^x\) и соедините их плавной кривой. Вы увидите, что график быстро растет вправо и приближается к оси \(X\) слева, но никогда ее не пересекает. Он проходит через точку (0, 1). 3. Отметьте точки для функции \(Y = \log_2 X\) и соедините их плавной кривой. Вы увидите, что график растет вверх вправо и приближается к оси \(Y\) снизу, но никогда ее не пересекает. Он проходит через точку (1, 0). 4. Важное свойство: Графики функции и ее обратной функции всегда симметричны относительно прямой \(Y = X\). Начертите эту прямую (она проходит через начало координат под углом 45 градусов). Вы увидите, что если сложить лист по этой прямой, графики совпадут. Итог: * Исходная функция: \(Y = a^x\) (показательная функция) * Обратная функция: \(Y = \log_a X\) (логарифмическая функция) Пример графика для \(a=2\): (Представьте, что здесь нарисован график) * Красная линия: \(Y = 2^x\) * Синяя линия: \(Y = \log_2 X\) * Пунктирная линия: \(Y = X\) (линия симметрии) На графике будет видно, что: * График \(Y = 2^x\) проходит через (0, 1). * График \(Y = \log_2 X\) проходит через (1, 0). * Оба графика являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой \(Y = X\).