Решение: Обратная функция для Y = x⁴ и Y = aˣ

Хорошо, давайте построим график обратной функции для \(Y = x^4\). 1. Исходная функция: \(Y = x^4\) 2. Находим обратную функцию: * Меняем местами \(x\) и \(y\): \(X = y^4\) * Выражаем \(y\). Чтобы избавиться от степени 4, нужно взять корень четвертой степени из обеих частей: \(y = \pm \sqrt[4]{X}\) Здесь возникает важный момент. Исходная функция \(Y = x^4\) не является монотонной на всей своей области определения (все действительные числа). * Если \(x\) отрицательное, например \(x = -2\), то \(Y = (-2)^4 = 16\). * Если \(x\) положительное, например \(x = 2\), то \(Y = (2)^4 = 16\). То есть, разным значениям \(x\) (например, -2 и 2) соответствует одно и то же значение \(Y\) (16). Для того чтобы функция имела однозначную обратную функцию, она должна быть монотонной (только возрастать или только убывать) на своей области определения. Поэтому, чтобы построить обратную функцию, нам нужно рассмотреть два случая для исходной функции \(Y = x^4\): Случай 1: \(x \ge 0\) * Если мы ограничиваем область определения исходной функции \(Y = x^4\) только неотрицательными значениями \(x\) (\(x \ge 0\)), то функция становится монотонно возрастающей. * В этом случае обратная функция будет: \(Y = \sqrt[4]{X}\) (мы берем только положительный корень, так как \(x\) был неотрицательным). * Область определения для \(Y = \sqrt[4]{X}\) – это \(X \ge 0\), так как нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа в действительных числах. * Область значений для \(Y = \sqrt[4]{X}\) – это \(Y \ge 0\). Случай 2: \(x < 0\) * Если мы ограничиваем область определения исходной функции \(Y = x^4\) только отрицательными значениями \(x\) (\(x < 0\)), то функция становится монотонно убывающей. * В этом случае обратная функция будет: \(Y = -\sqrt[4]{X}\) (мы берем отрицательный корень, так как \(x\) был отрицательным). * Область определения для \(Y = -\sqrt[4]{X}\) – это \(X > 0\). * Область значений для \(Y = -\sqrt[4]{X}\) – это \(Y < 0\). Как построить графики: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(X\) и \(Y\). 2. График исходной функции: \(Y = x^4\) * Это парабола четвертой степени, симметричная относительно оси \(Y\). Она похожа на параболу \(Y = x^2\), но более "плоская" у вершины и более крутая дальше от нее. * Точки: * \(x = -2\), \(Y = (-2)^4 = 16\) * \(x = -1\), \(Y = (-1)^4 = 1\) * \(x = 0\), \(Y = 0^4 = 0\) * \(x = 1\), \(Y = 1^4 = 1\) * \(x = 2\), \(Y = 2^4 = 16\) * График проходит через (-2, 16), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 16). 3. График обратных функций: * Начертите прямую \(Y = X\) (линия симметрии). * Для \(Y = \sqrt[4]{X}\) (это обратная функция для \(Y = x^4\) при \(x \ge 0\)): * Точки (просто меняем местами координаты из правой части \(Y = x^4\)): * \(X = 0\), \(Y = \sqrt[4]{0} = 0\) * \(X = 1\), \(Y = \sqrt[4]{1} = 1\) * \(X = 16\), \(Y = \sqrt[4]{16} = 2\) * График начинается в (0, 0) и идет вправо вверх. * Для \(Y = -\sqrt[4]{X}\) (это обратная функция для \(Y = x^4\) при \(x < 0\)): * Точки (меняем местами координаты из левой части \(Y = x^4\), но берем отрицательный корень): * \(X = 1\), \(Y = -\sqrt[4]{1} = -1\) * \(X = 16\), \(Y = -\sqrt[4]{16} = -2\) * График начинается в (0, 0) и идет вправо вниз. Итог: * Исходная функция: \(Y = x^4\) * Обратные функции (две ветви): * \(Y = \sqrt[4]{X}\) (для \(x \ge 0\) в исходной функции) * \(Y = -\sqrt[4]{X}\) (для \(x < 0\) в исходной функции) На графике вы увидите: * График \(Y = x^4\) – это симметричная кривая, лежащая выше оси \(X\), с вершиной в (0,0). * График \(Y = \sqrt[4]{X}\) – это верхняя ветвь, которая является отражением правой половины \(Y = x^4\) относительно \(Y = X\). * График \(Y = -\sqrt[4]{X}\) – это нижняя ветвь, которая является отражением левой половины \(Y = x^4\) относительно \(Y = X\). (Представьте, что здесь нарисован график) * Красная линия: \(Y = x^4\) * Синяя линия: \(Y = \sqrt[4]{X}\) * Зеленая линия: \(Y = -\sqrt[4]{X}\) * Пунктирная линия: \(Y = X\) (линия симметрии) Важно помнить, что функция \(Y = x^4\) не имеет *одной* обратной функции на всей своей области определения, потому что она не является взаимно-однозначной (инъективной). Мы должны разбить ее на части, где она монотонна, чтобы найти обратные функции.