Построение графиков обратных функций Y=sinx, Y=x⁴, Y=a^x

Хорошо, давайте построим график обратной функции для \(Y = \sin x\). 1. Исходная функция: \(Y = \sin x\) 2. Находим обратную функцию: * Меняем местами \(x\) и \(y\): \(X = \sin y\) * Выражаем \(y\). Для этого используем обратную тригонометрическую функцию, которая называется арксинусом: \(y = \arcsin X\) Здесь, как и в случае с \(Y = x^4\), возникает важная проблема. Функция \(Y = \sin x\) не является монотонной на всей своей области определения (все действительные числа). Она периодическая и принимает одно и то же значение \(Y\) для бесконечного множества разных значений \(x\). Например, \(\sin(0) = 0\), \(\sin(\pi) = 0\), \(\sin(2\pi) = 0\), \(\sin(-\pi) = 0\) и так далее. Для того чтобы функция имела однозначную обратную функцию, она должна быть монотонной и взаимно-однозначной. Поэтому для функции \(\sin x\) выбирают так называемый "главный интервал", на котором она монотонна и принимает все свои возможные значения от -1 до 1 ровно по одному разу. Этот главный интервал для \(\sin x\) обычно выбирают от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\) включительно. На этом интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) функция \(Y = \sin x\) монотонно возрастает от -1 до 1. Итак, мы будем строить обратную функцию для \(Y = \sin x\) на интервале \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\). Обратная функция: \(Y = \arcsin X\) * Область определения для \(Y = \arcsin X\) – это область значений исходной функции \(Y = \sin x\), то есть \(X \in [-1; 1]\). * Область значений для \(Y = \arcsin X\) – это выбранный главный интервал для \(x\) в исходной функции, то есть \(Y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\). Как построить графики: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(X\) и \(Y\). Отметьте на осях значения \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(-\frac{\pi}{2}\), \(-\pi\) и т.д. (приблизительно \(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\)). 2. График исходной функции: \(Y = \sin x\) * Нарисуйте часть синусоиды на интервале \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\). * Точки: * \(x = -\frac{\pi}{2}\), \(Y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\) * \(x = 0\), \(Y = \sin(0) = 0\) * \(x = \frac{\pi}{2}\), \(Y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) * График будет плавной кривой, проходящей через \(\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)\), \((0, 0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\). 3. График обратной функции: \(Y = \arcsin X\) * Начертите прямую \(Y = X\) (линия симметрии). * Чтобы получить точки для \(Y = \arcsin X\), просто поменяйте местами координаты точек исходной функции на выбранном интервале. * Точки: * \(X = -1\), \(Y = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\) * \(X = 0\), \(Y = \arcsin(0) = 0\) * \(X = 1\), \(Y = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\) * График будет плавной кривой, проходящей через \(\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)\), \((0, 0)\), \(\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\). Итог: * Исходная функция (на главном интервале): \(Y = \sin x\), где \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) * Обратная функция: \(Y = \arcsin X\), где \(X \in [-1; 1]\) На графике вы увидите: * Часть синусоиды, которая идет от \(\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)\) через \((0, 0)\) до \(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\). * График арксинуса, который идет от \(\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)\) через \((0, 0)\) до \(\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\). * Оба графика будут симметричны относительно прямой \(Y = X\). (Представьте, что здесь нарисован график) * Красная линия: \(Y = \sin x\) (на интервале от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\)) * Синяя линия: \(Y = \arcsin X\) * Пунктирная линия: \(Y = X\) (линия симметрии) Важно подчеркнуть, что мы строим график обратной функции только для *части* синуса, чтобы она была однозначной. Если бы мы не ограничили интервал для \(\sin x\), то \(Y = \arcsin X\) не была бы функцией в привычном смысле (одному \(X\) соответствовало бы бесконечное множество \(Y\)).