Построение графиков обратных функций: sin(x), x⁴, a^x

Хорошо, давайте построим график обратной функции для \(Y = \sin x\). 1. Исходная функция: \(Y = \sin x\) 2. Находим обратную функцию: * Меняем местами \(x\) и \(y\): \(X = \sin Y\) * Выражаем \(Y\). Для этого используем арксинус: \(Y = \arcsin X\) Здесь, как и в случае с \(Y = x^4\), возникает важный момент. Исходная функция \(Y = \sin x\) не является монотонной на всей своей области определения (все действительные числа). Синус – это периодическая функция, которая принимает одно и то же значение много раз. Например, \(\sin(0) = 0\), \(\sin(\pi) = 0\), \(\sin(2\pi) = 0\), \(\sin(-\pi) = 0\) и так далее. Для того чтобы функция имела однозначную обратную функцию, она должна быть монотонной (только возрастать или только убывать) на своей области определения. Поэтому, чтобы построить обратную функцию, мы должны ограничить область определения исходной функции \(Y = \sin x\) до интервала, на котором она монотонна и принимает все свои возможные значения (от -1 до 1). Стандартный интервал для ограничения синуса, чтобы получить главную ветвь арксинуса, это \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). На этом интервале функция \(Y = \sin x\) монотонно возрастает от -1 до 1. Итак, мы рассматриваем: * Исходная функция: \(Y = \sin x\), где \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) * Область значений этой ограниченной функции: \(Y \in [-1, 1]\) Теперь для этой ограниченной функции мы можем найти однозначную обратную функцию: * Обратная функция: \(Y = \arcsin X\) * Область определения для \(Y = \arcsin X\): \(X \in [-1, 1]\) (это область значений исходной функции) * Область значений для \(Y = \arcsin X\): \(Y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) (это область определения исходной функции) Как построить графики: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(X\) и \(Y\). Отметьте на осях значения \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(-\frac{\pi}{2}\), \(-\pi\) и 1, -1. 2. График исходной функции: \(Y = \sin x\) (ограниченный интервал) * Мы строим только часть синусоиды от \(x = -\frac{\pi}{2}\) до \(x = \frac{\pi}{2}\). * Точки: * \(x = -\frac{\pi}{2}\), \(Y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\) * \(x = 0\), \(Y = \sin(0) = 0\) * \(x = \frac{\pi}{2}\), \(Y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) * График будет плавной кривой, проходящей через \((-\frac{\pi}{2}, -1)\), \((0, 0)\), \(( \frac{\pi}{2}, 1)\). 3. График обратной функции: \(Y = \arcsin X\) * Начертите прямую \(Y = X\) (линия симметрии). * Чтобы найти точки для \(Y = \arcsin X\), просто поменяйте местами координаты точек исходной функции: * \(X = -1\), \(Y = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\) * \(X = 0\), \(Y = \arcsin(0) = 0\) * \(X = 1\), \(Y = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\) * График будет плавной кривой, проходящей через \((-1, -\frac{\pi}{2})\), \((0, 0)\), \((1, \frac{\pi}{2})\). Итог: * Исходная функция (ограниченная): \(Y = \sin x\), \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) * Обратная функция: \(Y = \arcsin X\) На графике вы увидите: * График \(Y = \sin x\) (красная линия) – это часть синусоиды, которая начинается в \((-\frac{\pi}{2}, -1)\), проходит через \((0, 0)\) и заканчивается в \(( \frac{\pi}{2}, 1)\). * График \(Y = \arcsin X\) (синяя линия) – это кривая, которая начинается в \((-1, -\frac{\pi}{2})\), проходит через \((0, 0)\) и заканчивается в \((1, \frac{\pi}{2})\). * Оба графика являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой \(Y = X\) (пунктирная линия). (Представьте, что здесь нарисован график) * Красная линия: \(Y = \sin x\) (от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\)) * Синяя линия: \(Y = \arcsin X\) * Пунктирная линия: \(Y = X\) (линия симметрии) Важно подчеркнуть, что мы строим график *главной ветви* арксинуса, которая является обратной функцией для синуса, ограниченного на интервале \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). Если бы мы не ограничили синус, то обратная функция не была бы однозначной.