График обратной функции Y = sinx: решение и объяснение

Давайте построим график обратной функции для \(Y = \sin x\). Сначала вспомним, что такое обратная функция. Обратная функция "отменяет" действие исходной функции. Если функция \(f(x)\) отображает \(x\) в \(y\), то обратная функция \(f^{-1}(y)\) отображает \(y\) обратно в \(x\). Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной (то есть постоянно возрастающей или постоянно убывающей) на некотором интервале. Функция \(Y = \sin x\) не является монотонной на всей своей области определения. Она колеблется между -1 и 1. Поэтому, чтобы построить обратную функцию, нам нужно выбрать такой интервал, на котором \(Y = \sin x\) будет монотонной. Общепринято выбирать интервал \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). На этом интервале функция \(Y = \sin x\) возрастает от -1 до 1. 1. **Исходная функция:** \(Y = \sin x\) Область определения: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) Область значений: \([-1, 1]\) 2. **Нахождение обратной функции:** Чтобы найти обратную функцию, мы меняем местами \(x\) и \(y\) и выражаем \(y\). \(x = \sin y\) Чтобы выразить \(y\), мы используем функцию арксинуса (обозначается как \(\arcsin\) или \(\sin^{-1}\)). \(y = \arcsin x\) 3. **Характеристики обратной функции:** Функция: \(Y = \arcsin x\) Область определения: \([-1, 1]\) (это была область значений исходной функции) Область значений: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) (это была область определения исходной функции) 4. **Построение графика:** Для построения графика обратной функции \(Y = \arcsin x\) можно использовать несколько подходов: * **Построение по точкам:** Возьмем несколько характерных точек для \(Y = \sin x\) на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) и поменяем у них координаты \(x\) и \(y\). Для \(Y = \sin x\): * При \(x = -\frac{\pi}{2}\), \(Y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). Точка \(\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)\). * При \(x = -\frac{\pi}{4}\), \(Y = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707\). Точка \(\left(-\frac{\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). * При \(x = 0\), \(Y = \sin(0) = 0\). Точка \((0, 0)\). * При \(x = \frac{\pi}{4}\), \(Y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\). Точка \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). * При \(x = \frac{\pi}{2}\), \(Y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). Точка \(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\). Теперь для \(Y = \arcsin x\) (меняем \(x\) и \(y\) местами): * При \(x = -1\), \(Y = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\). Точка \(\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)\). * При \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(Y = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}\). Точка \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\pi}{4}\right)\). * При \(x = 0\), \(Y = \arcsin(0) = 0\). Точка \((0, 0)\). * При \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(Y = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}\). Точка \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}\right)\). * При \(x = 1\), \(Y = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\). Точка \(\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\). * **Симметрия относительно прямой \(Y = x\):** График обратной функции всегда симметричен графику исходной функции относительно прямой \(Y = x\). 1. Начертите координатную плоскость. 2. Постройте график функции \(Y = \sin x\) на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Он будет выглядеть как часть синусоиды, проходящая через \(\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)\), \((0, 0)\) и \(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\). 3. Начертите прямую \(Y = x\). 4. Отразите график \(Y = \sin x\) относительно этой прямой. Полученный график будет графиком \(Y = \arcsin x\). Он будет проходить через точки \(\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)\), \((0, 0)\) и \(\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\). **Как это будет выглядеть на чертеже (описание):** Представьте себе координатную плоскость с осями \(X\) и \(Y\). * На оси \(X\) отметьте значения \(\left(-\frac{\pi}{2} \approx -1.57\right)\), \(0\), \(\left(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\right)\). * На оси \(Y\) отметьте значения \(-1\), \(0\), \(1\). **График \(Y = \sin x\) (на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)):** Начинается в точке \(\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)\), плавно поднимается, проходит через \((0, 0)\) и заканчивается в точке \(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\). Это будет S-образная кривая, "лежащая на боку" по сравнению с обычным синусом. **График \(Y = \arcsin x\):** * На оси \(X\) отметьте значения \(-1\), \(0\), \(1\). * На оси \(Y\) отметьте значения \(\left(-\frac{\pi}{2} \approx -1.57\right)\), \(0\), \(\left(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\right)\). График \(Y = \arcsin x\) начинается в точке \(\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)\), плавно поднимается, проходит через \((0, 0)\) и заканчивается в точке \(\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\). Эта кривая будет выглядеть как "вертикальная" S-образная кривая. Если вы нарисуете оба графика на одной системе координат, то увидите, что они симметричны относительно прямой \(Y = x\). **Важно запомнить:** * Обратная функция к \(Y = \sin x\) называется \(Y = \arcsin x\). * Она определена только для \(x\) от -1 до 1. * Её значения (углы) лежат в пределах от \(\left(-\frac{\pi}{2}\right)\) до \(\left(\frac{\pi}{2}\right)\).