Решение интеграла ∫(x^2 + 5x + 1) dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \[ \int (x^2 + 5x + 1) dx \] Решение: Для решения воспользуемся свойствами линейности интеграла и табличной формулой для степенной функции \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] 1. Разложим интеграл суммы на сумму интегралов: \[ \int (x^2 + 5x + 1) dx = \int x^2 dx + \int 5x dx + \int 1 dx \] 2. Вынесем константы за знак интеграла: \[ \int x^2 dx + 5 \int x dx + \int dx \] 3. Применим формулу интегрирования к каждому слагаемому: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] \[ 5 \int x^1 dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5x^2}{2} \] \[ \int dx = x \] 4. Собираем все части вместе и добавляем произвольную постоянную \( C \): \[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \] Сравним с предложенными вариантами ответов: 1. \( \frac{x^2}{2} + 10x^2 + 1 + C \) 2. \( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \) 3. \( 2x + 5 + C \) 4. \( x^3 + 5x^2 + C \) Правильный ответ соответствует варианту 2. Ответ: \( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \) (вариант 2).