Задача:
Находясь в деревне у бабушки, Вася и Маша получили задание — опустошить бочку с дождевой водой. Для этого им дали один ковш на двоих. Они решили, что правильно будет, если первую половину опустошит Маша, а вторую половину Вася. Справедливое ли это решение?
Одинаковую ли работу совершили ребята?
Решение:
Для того чтобы понять, одинаковую ли работу совершили ребята, нужно вспомнить, что такое механическая работа в физике.
Механическая работа \(A\) определяется как произведение силы \(F\), приложенной к телу, на перемещение \(s\), которое совершило тело в направлении действия этой силы:
\[A = F \cdot s\]В данном случае, ребята совершают работу, поднимая воду из бочки. Сила, которую они прикладывают, равна весу поднимаемой воды. Перемещение — это высота, на которую они поднимают воду.
Представим, что бочка имеет цилиндрическую форму (это наиболее распространенный вариант, и для решения задачи нам нужно какое-то предположение о форме). Пусть высота бочки будет \(H\).
1. Работа Маши:
Маша опустошает первую половину бочки. Это означает, что она вычерпывает воду, пока уровень воды не опустится до середины бочки, то есть на высоту \(H/2\).
Когда Маша начинает вычерпывать воду, она поднимает её с высоты \(H\) (если считать от дна бочки до поверхности воды) до края бочки. По мере того, как вода убывает, ей приходится поднимать воду с меньшей высоты.
Однако, если мы рассматриваем работу по поднятию каждой порции воды, то средняя высота, на которую Маша поднимает воду, будет больше, чем средняя высота для Васи.
Рассмотрим элементарную порцию воды массой \(dm\) на глубине \(h\) от поверхности. Чтобы поднять её до края бочки, нужно совершить работу \(dW = dm \cdot g \cdot h\), где \(g\) — ускорение свободного падения.
Маша вычерпывает воду из верхней половины бочки. Это означает, что она поднимает воду, которая находится выше. Средняя высота, на которую Маша поднимает воду, будет больше, чем средняя высота, на которую Вася поднимает воду.
Например, если бочка полная, Маша поднимает воду с поверхности, которая находится на высоте \(H\) от дна, до края бочки. Затем она поднимает воду, которая находится чуть ниже, и так далее, пока уровень воды не опустится до \(H/2\).
Вася же начинает вычерпывать воду, когда уровень воды уже находится на высоте \(H/2\). Он поднимает воду с этой высоты до края бочки, а затем с меньших высот, пока бочка не опустеет.
Таким образом, Маша поднимает воду, которая в среднем находится выше, чем вода, которую поднимает Вася. Следовательно, Маша совершает большую работу.
Ответы на вопросы:
1. Справедливое ли это решение?
Нет, это решение несправедливое, потому что Маша совершит большую работу.
2. Одинаковую ли работу совершили ребята?
Нет, не одинаковую.
Выбор правильного варианта:
Из предложенных вариантов наиболее точным является:
- Маша совершила большую работу.
Объяснение для тетради:
Представим бочку с водой. Когда бочка полная, вода находится на разной высоте. Чтобы вычерпать воду, нужно поднять её до края бочки. Чем выше находится вода, тем меньше усилий нужно приложить, чтобы поднять её до края бочки (если считать от поверхности воды до края). Но если считать от дна бочки, то чем выше находится вода, тем большее расстояние она проходит до края бочки, если край бочки находится на фиксированной высоте.
Давайте рассмотрим это с точки зрения потенциальной энергии воды. Вода, находящаяся выше, обладает большей потенциальной энергией. Чтобы вычерпать эту воду, нужно совершить работу, равную изменению её потенциальной энергии.
Маша вычерпывает первую половину воды. Эта вода находится в верхней части бочки. Вася вычерпывает вторую половину воды, которая находится в нижней части бочки.
Чтобы поднять воду из нижней части бочки, нужно приложить силу на большее расстояние, чем для воды из верхней части бочки (если считать от уровня воды до края бочки). Но это не совсем так. Работа совершается против силы тяжести, и она зависит от массы воды и высоты, на которую её поднимают.
Рассмотрим среднюю высоту, на которую поднимается вода. Пусть высота бочки \(H\). Маша вычерпывает воду, когда её уровень находится от \(H\) до \(H/2\). Средняя высота, на которую она поднимает воду, будет больше, чем средняя высота, на которую поднимает воду Вася, который вычерпывает воду, когда её уровень находится от \(H/2\) до \(0\).
Представим, что мы поднимаем каждую порцию воды до одного и того же уровня (края бочки). Маша поднимает воду, которая находится в верхней половине бочки. Эта вода в среднем находится выше, чем вода в нижней половине бочки. Чтобы поднять воду из верхней половины, нужно совершить работу по поднятию каждой порции воды на расстояние от её текущего уровня до края бочки.
Если мы рассматриваем работу как поднятие массы воды на определенную высоту, то Маша поднимает воду, которая в среднем находится выше относительно дна бочки. Но работа совершается по поднятию воды до края бочки. Пусть край бочки находится на высоте \(H_{края}\) от земли. Если Маша вычерпывает воду, когда уровень воды находится на высоте \(h_1\) от дна, то она поднимает воду на высоту \(H_{края} - h_1\). Вася вычерпывает воду, когда уровень воды находится на высоте \(h_2\) от дна, где \(h_2 < h_1\). Он поднимает воду на высоту \(H_{края} - h_2\).
Поскольку Вася вычерпывает воду из нижней половины бочки, ему приходится поднимать её на большую высоту (относительно её начального положения) до края бочки. Например, если бочка имеет высоту 1 метр. Маша вычерпывает воду, пока уровень не опустится до 0.5 метра. Вася вычерпывает воду от 0.5 метра до 0.
Рассмотрим работу по поднятию каждой порции воды. Когда Маша вычерпывает воду, она поднимает её с уровня, который постепенно опускается от \(H\) до \(H/2\). Когда Вася вычерпывает воду, он поднимает её с уровня, который постепенно опускается от \(H/2\) до \(0\).
Средняя высота, на которую поднимается вода, для Васи будет больше. Например, если бочка имеет высоту \(H\). Маша поднимает воду, которая находится на глубине от 0 до \(H/2\). Вася поднимает воду, которая находится на глубине от \(H/2\) до \(H\).
Работа по поднятию воды из бочки зависит от массы воды и средней высоты, на которую эта масса поднимается. Если бочка цилиндрическая, то центр масс первой половины воды (верхней) находится выше, чем центр масс второй половины воды (нижней). Чтобы поднять воду из верхней половины, нужно поднять её на меньшую среднюю высоту до края бочки, чем воду из нижней половины.
Значит, Вася, вычерпывая воду из нижней половины, совершает большую работу, так как ему приходится поднимать воду на большую среднюю высоту до края бочки.
Исправленный вывод:
Работа по поднятию воды из бочки зависит от массы воды и высоты, на которую эта вода поднимается. Маша вычерпывает первую половину воды, которая находится в верхней части бочки. Вася вычерпывает вторую половину воды, которая находится в нижней части бочки.
Чтобы поднять воду из нижней части бочки до её края, нужно приложить силу на большее расстояние, чем для воды из верхней части бочки. Представим, что край бочки находится на высоте \(H_{края}\) от земли. Маша вычерпывает воду, когда её уровень находится от \(H\) до \(H/2\) (относительно дна). Вася вычерпывает воду, когда её уровень находится от \(H/2\) до \(0\) (относительно дна).
Средняя высота, на которую Вася поднимает воду до края бочки, будет больше, чем средняя высота для Маши. Следовательно, Вася совершает большую работу.
Окончательный ответ для тетради:
1. Справедливое ли это решение?
Нет, это решение несправедливое.
2. Одинаковую ли работу совершили ребята?
Нет, не одинаковую.
Объяснение:
Механическая работа по поднятию воды из бочки зависит от массы воды и высоты, на которую эту воду нужно поднять до края бочки. Маша вычерпывает первую половину воды, которая находится в верхней части бочки. Вася вычерпывает вторую половину воды, которая находится в нижней части бочки.
Чтобы поднять воду из нижней части бочки до её края, нужно приложить силу на большее расстояние, чем для воды из верхней части бочки. Это означает, что Вася, вычерпывая воду из нижней половины бочки, совершает большую работу.
Правильный вариант ответа:
Вася совершил большую работу.