Задача:
Подъёмный кран равномерно поднимает груз на высоту \(h = 20\) м. В первом случае он поднимает груз за \(t_1 = 40\) с, а во втором случае — за \(t_2 = 20\) с. Сравнить работы, совершённые краном в первом и втором случаях.
Дано:
- Высота подъёма груза: \(h = 20\) м
- Время подъёма в первом случае: \(t_1 = 40\) с
- Время подъёма во втором случае: \(t_2 = 20\) с
Найти:
Сравнить работы \(A_1\) и \(A_2\).
Решение:
Механическая работа \(A\) по поднятию груза определяется как произведение силы \(F\), приложенной для подъёма, на высоту \(h\), на которую поднимается груз:
\[A = F \cdot h\]Поскольку груз поднимается равномерно, сила, которую прикладывает кран, равна силе тяжести, действующей на груз. Сила тяжести \(F_т\) определяется по формуле:
\[F_т = m \cdot g\]где \(m\) — масса груза, \(g\) — ускорение свободного падения (приблизительно \(9.8\) м/с\(^2\) или \(10\) м/с\(^2\)).
Таким образом, работа, совершаемая краном при подъёме груза, равна:
\[A = m \cdot g \cdot h\]В данной задаче:
- Масса груза \(m\) одинакова в обоих случаях.
- Ускорение свободного падения \(g\) одинаково в обоих случаях.
- Высота подъёма \(h\) одинакова в обоих случаях (\(h = 20\) м).
Следовательно, работа, совершённая краном в первом случае (\(A_1\)), будет равна:
\[A_1 = m \cdot g \cdot h\]И работа, совершённая краном во втором случае (\(A_2\)), будет равна:
\[A_2 = m \cdot g \cdot h\]Из этих формул видно, что \(A_1 = A_2\).
Время, за которое совершается работа (\(t_1\) и \(t_2\)), влияет на мощность, развиваемую краном, но не на саму работу. Мощность \(P\) определяется как работа, совершённая за единицу времени:
\[P = \frac{A}{t}\]В первом случае мощность будет \(P_1 = \frac{A_1}{t_1}\), а во втором случае \(P_2 = \frac{A_2}{t_2}\). Поскольку \(t_1 = 40\) с, а \(t_2 = 20\) с, то \(t_1 = 2 \cdot t_2\). Это означает, что во втором случае кран развивает в два раза большую мощность, но совершает ту же самую работу.
Вывод:
Работа, совершённая краном в первом и втором случаях, одинакова, так как одинаковы масса груза, высота подъёма и ускорение свободного падения.
Ответ:
Правильный вариант: \(A_1 = A_2\).