Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решим данную задачу. Система линейных уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 10 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 5 \end{cases} \] Для того чтобы определить, является ли система определенной, неопределенной или несовместной, мы можем использовать метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Выполним элементарные преобразования строк: 1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: \(R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\) 2. Вычтем из третьей строки первую: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) 3. Вычтем из четвертой строки первую, умноженную на 2: \(R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1\) Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 \cdot 2 & 1 - 3 \cdot 3 & | & 10 - 3 \cdot 14 \\ 1 - 1 & 1 - 2 & 1 - 3 & | & 6 - 14 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & -1 - 2 \cdot 3 & | & 5 - 2 \cdot 14 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -4 & -8 & | & -32 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Разделим вторую строку на -4: \(R_2 \leftarrow R_2 / (-4)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Теперь выполним следующие преобразования: 1. Прибавим к третьей строке вторую: \(R_3 \leftarrow R_3 + R_2\) 2. Прибавим к четвертой строке вторую: \(R_4 \leftarrow R_4 + R_2\) Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 + 1 & -2 + 2 & | & -8 + 8 \\ 0 & -1 + 1 & -7 + 2 & | & -23 + 8 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \end{pmatrix} \] Мы видим, что третья строка состоит из нулей, что означает, что одно из уравнений является линейной комбинацией других и не добавляет новой информации. Это не приводит к несовместности. Поменяем местами третью и четвертую строки для удобства: \(R_3 \leftrightarrow R_4\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Разделим третью строку на -5: \(R_3 \leftarrow R_3 / (-5)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Теперь у нас есть ступенчатая форма матрицы. Ранг основной матрицы (количество ненулевых строк) равен 3. Ранг расширенной матрицы также равен 3. Количество переменных равно 3. По теореме Кронекера-Капелли, если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству переменных, то система имеет единственное решение (является определенной). Из последней матрицы мы можем найти решение: Из третьей строки: \(x_3 = 3\) Из второй строки: \(x_2 + 2x_3 = 8\) \(x_2 + 2(3) = 8\) \(x_2 + 6 = 8\) \(x_2 = 8 - 6\) \(x_2 = 2\) Из первой строки: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14\) \(x_1 + 2(2) + 3(3) = 14\) \(x_1 + 4 + 9 = 14\) \(x_1 + 13 = 14\) \(x_1 = 14 - 13\) \(x_1 = 1\) Таким образом, система имеет единственное решение: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\). Это означает, что система является определенной. Вывод: Система линейных уравнений является определенной, так как имеет единственное решение. Ответ: Определенная.