Решение СЛАУ методом Гаусса: Задача 1.1

Хорошо, я вижу изображение с задачами по решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Я выберу одну из задач и решу её подробно, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Давайте возьмём задачу 1.1 из списка: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 9 \\ x_1 - 4x_2 - 2x_3 = 3 \end{cases} \] Решим эту систему методом Гаусса.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 6 \quad (1) \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 9 \quad (2) \\ x_1 - 4x_2 - 2x_3 = 3 \quad (3) \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу системы: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 1 & -2 & 1 & 9 \\ 1 & -4 & -2 & 3 \end{array} \right) \] Наша цель — привести эту матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Шаг 1: Обнулим элементы под первым элементом первого столбца. Вычтем первую строку из второй строки ( \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\) ): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 1-1 & -2-(-1) & 1-1 & 9-6 \\ 1 & -4 & -2 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & -4 & -2 & 3 \end{array} \right) \] Вычтем первую строку из третьей строки ( \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) ): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \\ 1-1 & -4-(-1) & -2-1 & 3-6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & -3 & -3 \end{array} \right) \] Шаг 2: Обнулим элемент под вторым элементом второго столбца. Для удобства умножим вторую строку на -1 ( \(R_2 \leftarrow -1 \cdot R_2\) ): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & -3 & -3 \end{array} \right) \] Прибавим третью строку к второй строке, умноженной на 3 ( \(R_3 \leftarrow R_3 + 3 \cdot R_2\) ): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0+3 \cdot 0 & -3+3 \cdot 1 & -3+3 \cdot 0 & -3+3 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -12 \end{array} \right) \] Теперь матрица приведена к ступенчатому виду. Запишем соответствующую систему уравнений: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 6 \\ x_2 = -3 \\ -3x_3 = -12 \end{cases} \] Шаг 3: Обратный ход (подстановка). Из третьего уравнения находим \(x_3\): \[ -3x_3 = -12 \\ x_3 = \frac{-12}{-3} \\ x_3 = 4 \] Из второго уравнения мы уже знаем \(x_2\): \[ x_2 = -3 \] Подставим значения \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение: \[ x_1 - x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 - (-3) + 4 = 6 \\ x_1 + 3 + 4 = 6 \\ x_1 + 7 = 6 \\ x_1 = 6 - 7 \\ x_1 = -1 \] Таким образом, решение системы: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 4 \] Проверка: Подставим найденные значения в исходную систему: 1) \(x_1 - x_2 + x_3 = -1 - (-3) + 4 = -1 + 3 + 4 = 2 + 4 = 6\). Верно. 2) \(x_1 - 2x_2 + x_3 = -1 - 2(-3) + 4 = -1 + 6 + 4 = 5 + 4 = 9\). Верно. 3) \(x_1 - 4x_2 - 2x_3 = -1 - 4(-3) - 2(4) = -1 + 12 - 8 = 11 - 8 = 3\). Верно. Все уравнения выполняются, значит, решение найдено верно.

Ответ:

\[ x_1 = -1 \\ x_2 = -3 \\ x_3 = 4 \]