Решение квадратных уравнений: x² + 6x + 8 = 0 и x² - 3x = 1.75

Хорошо, давайте решим эти квадратные уравнения. Задача 45. Решите уравнения: а) \(x^2 + 6x + 8 = 0\) Решение: Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=6\), \(c=8\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\). \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). \(x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) \(x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Ответ: \(x_1 = -2\), \(x_2 = -4\). б) \(x^2 - 3x = 1,75\) Решение: Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду: \(x^2 - 3x - 1,75 = 0\) Здесь \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-1,75\). Найдем дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1,75) = 9 + 7 = 16\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3,5\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 4}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5\) Ответ: \(x_1 = 3,5\), \(x_2 = -0,5\). в) \(x^2 - 6x + 6 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=-6\), \(c=6\). Найдем дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3}\) \(x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3}\) Ответ: \(x_1 = 3 + \sqrt{3}\), \(x_2 = 3 - \sqrt{3}\). г) \(x^2 - 3x + 1 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=-3\), \(c=1\). Найдем дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) Ответ: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\). д) \(x^2 + 8x + 15 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=8\), \(c=15\). Найдем дискриминант: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) Ответ: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -5\). Задача 46. Решите уравнения: а) \(3x^2 - 4x - 4 = 0\) Решение: Здесь \(a=3\), \(b=-4\), \(c=-4\). Найдем дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\) \(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\) Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -\frac{2}{3}\). б) \(x^2 - 10x + 9 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=-10\), \(c=9\). Найдем дискриминант: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Ответ: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 1\). в) \(x^2 + x = 2\) Решение: Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 + x - 2 = 0\) Здесь \(a=1\), \(b=1\), \(c=-2\). Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\). г) \(x^2 + 8x + 2 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=8\), \(c=2\). Найдем дискриминант: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 64 - 8 = 56\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{-8 + 2\sqrt{14}}{2} = -4 + \sqrt{14}\) \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{-8 - 2\sqrt{14}}{2} = -4 - \sqrt{14}\) Ответ: \(x_1 = -4 + \sqrt{14}\), \(x_2 = -4 - \sqrt{14}\). д) \(x^2 - 5x - 1 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=-1\). Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\) \(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}\) Ответ: \(x_1 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\), \(x_2 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}\). е) \(x^2 + 5x - 6 = 0\) Решение: Здесь \(a=1\), \(b=5\), \(c=-6\). Найдем дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\).