Решим задачу по шагам.
22. Построить график функции и определить, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Дана кусочно-заданная функция:
\[
y =
\begin{cases}
x^2 + 6x + 1, & x \ge -5 \\
2x + 10, & x < -5
\end{cases}
\]
Шаг 1: Построим график первой части функции \(y = x^2 + 6x + 1\) для \(x \ge -5\).
Это парабола. Найдем координаты вершины параболы:
Координата \(x\) вершины: \(x_в = -\frac{b}{2a}\)
В нашем случае \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 1\).
\(x_в = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\).
Координата \(y\) вершины: \(y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 1 = 9 - 18 + 1 = -8\).
Вершина параболы находится в точке \((-3; -8)\).
Так как ветви параболы направлены вверх (\(a = 1 > 0\)), то это будет минимальное значение функции на всей области определения параболы.
Рассмотрим значение функции на границе интервала \(x = -5\):
\(y(-5) = (-5)^2 + 6(-5) + 1 = 25 - 30 + 1 = -4\).
Точка \((-5; -4)\) принадлежит графику.
Найдем еще несколько точек для построения:
При \(x = -4\): \(y(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7\). Точка \((-4; -7)\).
При \(x = -2\): \(y(-2) = (-2)^2 + 6(-2) + 1 = 4 - 12 + 1 = -7\). Точка \((-2; -7)\).
При \(x = -1\): \(y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 1 = 1 - 6 + 1 = -4\). Точка \((-1; -4)\).
При \(x = 0\): \(y(0) = 0^2 + 6(0) + 1 = 1\). Точка \((0; 1)\).
Шаг 2: Построим график второй части функции \(y = 2x + 10\) для \(x < -5\).
Это прямая линия.
Рассмотрим значение функции на границе интервала \(x = -5\):
\(y(-5) = 2(-5) + 10 = -10 + 10 = 0\).
Точка \((-5; 0)\) не принадлежит графику, так как \(x < -5\). На графике это будет "выколотая" точка.
Найдем еще одну точку для построения прямой:
При \(x = -6\): \(y(-6) = 2(-6) + 10 = -12 + 10 = -2\). Точка \((-6; -2)\).
При \(x = -7\): \(y(-7) = 2(-7) + 10 = -14 + 10 = -4\). Точка \((-7; -4)\).
Шаг 3: Объединим графики и проанализируем количество точек пересечения с прямой \(y = m\).
Нарисуем график (представьте, что вы рисуете это в тетради):
1. Отметьте вершину параболы \((-3; -8)\).
2. Отметьте точку \((-5; -4)\) для параболы.
3. Отметьте точки \((-4; -7)\), \((-2; -7)\), \((-1; -4)\), \((0; 1)\) для параболы.
4. Соедините эти точки плавной кривой (параболой), начиная от \((-5; -4)\) и уходя вправо вверх.
5. Отметьте "выколотую" точку \((-5; 0)\) для прямой.
6. Отметьте точки \((-6; -2)\), \((-7; -4)\) для прямой.
7. Соедините эти точки прямой линией, идущей влево вниз от \((-5; 0)\).
Теперь проанализируем, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) (горизонтальная линия) имеет ровно две общие точки с построенным графиком.
* Если \(m < -8\), прямая \(y = m\) не пересекает график. (0 точек)
* Если \(m = -8\), прямая \(y = -8\) проходит через вершину параболы \((-3; -8)\). Она пересекает график в одной точке. (1 точка)
* Если \(-8 < m < -4\), прямая \(y = m\) пересекает параболу в двух точках. (2 точки)
* Если \(m = -4\), прямая \(y = -4\) проходит через точки \((-5; -4)\) и \((-1; -4)\). Она пересекает график в двух точках. (2 точки)
* Если \(-4 < m < 0\), прямая \(y = m\) пересекает параболу в одной точке (правая ветвь) и прямую \(y = 2x + 10\) в одной точке. (2 точки)
* Если \(m = 0\), прямая \(y = 0\) пересекает параболу в одной точке (при \(x = -6 \pm \sqrt{35}\), но нас интересует только \(x \ge -5\), поэтому только одна точка на правой ветви параболы) и не пересекает прямую \(y = 2x + 10\) (так как точка \((-5; 0)\) выколота). (1 точка)
Давайте уточним точки пересечения параболы с осью \(Ox\) (\(y=0\)):
\(x^2 + 6x + 1 = 0\)
\(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32\)
\(x = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}\)
\(x_1 = -3 - 2\sqrt{2} \approx -3 - 2 \cdot 1.41 = -3 - 2.82 = -5.82\). Эта точка не входит в область \(x \ge -5\).
\(x_2 = -3 + 2\sqrt{2} \approx -3 + 2.82 = -0.18\). Эта точка входит в область \(x \ge -5\).
Значит, при \(m=0\), прямая \(y=0\) пересекает параболу в одной точке \((-3+2\sqrt{2}; 0)\) и не пересекает прямую \(y=2x+10\) (точка \((-5;0)\) выколота). Итого 1 точка.
* Если \(m > 0\), прямая \(y = m\) пересекает параболу в одной точке (правая ветвь) и прямую \(y = 2x + 10\) в одной точке. (2 точки)
Давайте перепроверим интервалы.
Нам нужно ровно две общие точки.
1. При \(m = -8\), прямая \(y = -8\) касается параболы в вершине \((-3; -8)\). Это одна точка.
2. При \(-8 < m < -4\), прямая \(y = m\) пересекает параболу в двух точках. (2 точки)
3. При \(m = -4\), прямая \(y = -4\) пересекает параболу в двух точках: \((-5; -4)\) и \((-1; -4)\). (2 точки)
4. При \(-4 < m < 0\), прямая \(y = m\) пересекает параболу в одной точке (правее \(x=-5\)) и прямую \(y = 2x + 10\) в одной точке (левее \(x=-5\)). (2 точки)
5. При \(m = 0\), прямая \(y = 0\) пересекает параболу в одной точке (при \(x = -3 + 2\sqrt{2}\)) и не пересекает прямую \(y = 2x + 10\) (так как точка \((-5; 0)\) выколота). (1 точка)
6. При \(m > 0\), прямая \(y = m\) пересекает параболу в одной точке (правее \(x=-5\)) и прямую \(y = 2x + 10\) в одной точке (левее \(x=-5\)). (2 точки)
Итак, значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) имеет ровно две общие точки с графиком:
* \(-8 < m < 0\)
* \(m > 0\)
Объединяя эти интервалы, получаем:
\((-8; 0) \cup (0; +\infty)\).
В ответе нужно записать полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10).
В данном случае у нас два промежутка. Возможно, в задаче подразумевается, что ответ должен быть в виде одного промежутка или числа, если это возможно.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на график.
График функции:
Левая часть: прямая \(y = 2x + 10\). Она идет от \((-\infty; +\infty)\) до точки \((-5; 0)\), которая выколота.
Правая часть: парабола \(y = x^2 + 6x + 1\). Она начинается от точки \((-5; -4)\) (включительно), идет вниз до вершины \((-3; -8)\), а затем вверх до \((+\infty; +\infty)\).
Рассмотрим горизонтальные линии \(y=m\):
1. Если \(m < -8\): 0 точек пересечения.
2. Если \(m = -8\): 1 точка пересечения (вершина параболы).
3. Если \(-8 < m < -4\): 2 точки пересечения (с параболой).
4. Если \(m = -4\): 2 точки пересечения (с параболой, \((-5; -4)\) и \((-1; -4)\)).
5. Если \(-4 < m < 0\): 2 точки пересечения (одна с параболой, одна с прямой).
* Например, при \(m = -2\):
* \(x^2 + 6x + 1 = -2 \Rightarrow x^2 + 6x + 3 = 0\). \(D = 36 - 12 = 24\). \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}\).
\(x_1 = -3 - \sqrt{6} \approx -3 - 2.45 = -5.45\). Не подходит, так как \(x \ge -5\).
\(x_2 = -3 + \sqrt{6} \approx -3 + 2.45 = -0.55\). Подходит. Одна точка.
* \(2x + 10 = -2 \Rightarrow 2x = -12 \Rightarrow x = -6\). Подходит, так как \(x < -5\). Одна точка.
Итого 2 точки.
6. Если \(m = 0\): 1 точка пересечения (с параболой при \(x = -3 + 2\sqrt{2}\)). Точка \((-5; 0)\) выколота, поэтому с прямой пересечения нет.
7. Если \(m > 0\): 2 точки пересечения (одна с параболой, одна с прямой).
* Например, при \(m = 1\):
* \(x^2 + 6x + 1 = 1 \Rightarrow x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x+6) = 0\). \(x=0\) или \(x=-6\).
\(x=0\) подходит, так как \(x \ge -5\).
\(x=-6\) не подходит, так как \(x \ge -5\). Одна точка.
* \(2x + 10 = 1 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -4.5\). Не подходит, так как \(x < -5\).
ОШИБКА в рассуждении выше. Давайте перепроверим.
Перепроверим внимательно:
График состоит из двух частей:
1. Парабола \(y = x^2 + 6x + 1\) для \(x \ge -5\).
Вершина \((-3; -8)\).
Значение в точке \(x = -5\) равно \(y(-5) = -4\).
Значение в точке \(x = -3\) равно \(y(-3) = -8\).
Значение в точке \(x = -1\) равно \(y(-1) = -4\).
Значение в точке \(x = 0\) равно \(y(0) = 1\).
Эта часть графика начинается в точке \((-5; -4)\), идет вниз до \((-3; -8)\), затем вверх.
Диапазон значений \(y\) для этой части: \([-8; +\infty)\).
2. Прямая \(y = 2x + 10\) для \(x < -5\).
Значение в точке \(x = -5\) равно \(y(-5) = 0\). Эта точка \((-5; 0)\) выколота.
При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\).
Эта часть графика идет от \((-\infty; +\infty)\) до выколотой точки \((-5; 0)\).
Диапазон значений \(y\) для этой части: \((-\infty; 0)\).
Теперь объединим эти два графика и посмотрим на количество пересечений с \(y=m\).
* Если \(m < -8\): Прямая \(y=m\) пересекает только прямую \(y=2x+10\) (один раз).
Например, \(m = -10\). \(2x+10 = -10 \Rightarrow 2x = -20 \Rightarrow x = -10\). \(-10 < -5\), подходит. (1 точка)
Парабола \(x^2+6x+1 = -10 \Rightarrow x^2+6x+11 = 0\). \(D = 36 - 44 = -8 < 0\). Нет пересечений.
Итого: 1 точка.
* Если \(m = -8\): Прямая \(y=-8\) пересекает параболу в вершине \((-3; -8)\) (один раз).
Прямая \(y=-8\) пересекает прямую \(y=2x+10\): \(2x+10 = -8 \Rightarrow 2x = -18 \Rightarrow x = -9\). \(-9 < -5\), подходит. (1 точка)
Итого: 2 точки.
* Если \(-8 < m < -4\):
Прямая \(y=m\) пересекает параболу в двух точках (например, при \(m=-7\), \(x=-4\) и \(x=-2\)).
Прямая \(y=m\) пересекает прямую \(y=2x+10\) в одной точке (так как \(m < 0\)).
Итого: 3 точки.
* Если \(m = -4\):
Прямая \(y=-4\) пересекает параболу в двух точках (\((-5; -4)\) и \((-1; -4)\)).
Прямая \(y=-4\) пересекает прямую \(y=2x+10\): \(2x+10 = -4 \Rightarrow 2x = -14 \Rightarrow x = -7\). \(-7 < -5\), подходит.
Итого: 3 точки.
* Если \(-4 < m < 0\):
Прямая \(y=m\) пересекает параболу в одной точке (правее \(x=-5\)).
Прямая \(y=m\) пересекает прямую \(y=2x+10\) в одной точке (левее \(x=-5\)).
Итого: 2 точки.
* Если \(m = 0\):
Прямая \(y=0\) пересекает параболу в одной точке (\(x = -3 + 2\sqrt{2} \approx -0.18\)).
Прямая \(y=0\) не пересекает прямую \(y=2x+10\), так как точка \((-5; 0)\) выколота.
Итого: 1 точка.
* Если \(m > 0\):
Прямая \(y=m\) пересекает параболу в одной точке (правее \(x=-5\)).
Прямая \(y=m\) не пересекает прямую \(y=2x+10\), так как для \(x < -5\), \(y\) всегда меньше 0.
Итого: 1 точка.
Итак, ровно две общие точки получаются только в двух случаях:
1. Когда \(m = -8\).
2. Когда \(-4 < m < 0\).
В ответе нужно записать полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10).
В нашем случае это число \(-8\) и промежуток \((-4; 0)\).
Запишем это в формате, как в примере: \(-8(-4;0)\).
Проверим еще раз внимательно.
График:
1. Прямая \(y = 2x + 10\) для \(x < -5\).
При \(x = -5\), \(y = 0\). Точка \((-5; 0)\) выколота.
При \(x = -6\), \(y = -2\).
При \(x = -7\), \(y = -4\).
При \(x = -8\), \(y = -6\).
При \(x = -9\), \(y = -8\).
При \(x = -10\), \(y = -10\).
Эта часть графика идет от \((-\infty; -\infty)\) до \((-5; 0)\) (не включая \((-5; 0)\)).
2. Парабола \(y = x^2 + 6x + 1\) для \(x \ge -5\).
Вершина \((-3; -8)\).
При \(x = -5\), \(y = -4\). Точка \((-5; -4)\) включена.
При \(x = -4\), \(y = -7\).
При \(x = -2\), \(y = -7\).
При \(x = -1\), \(y = -4\).
При \(x = 0\), \(y = 1\).
Эта часть графика идет от \((-5; -4)\) вниз до \((-3; -8)\), затем вверх до \((+\infty; +\infty)\).
Теперь смотрим на количество пересечений с \(y=m\):
* Если \(m < -8\):
Прямая \(y=m\) пересекает \(y=2x+10\) в одной точке (так как \(m < 0\)).
Прямая \(y=m\) не пересекает параболу (так как \(m < -8\)).
Итого: 1 точка.
* Если \(m = -8\):
Прямая \(y=-8\) пересекает \(y=2x+10\): \(2x+10 = -8 \Rightarrow 2x = -18 \Rightarrow x = -9\). \(-9 < -5\), подходит. (1 точка)
Прямая \(y=-8\) пересекает параболу в вершине \((-3; -8)\). (1 точка)
Итого: 2 точки.
* Если \(-8 < m < -4\):
Прямая \(y=m\) пересекает \(y=2x+10\) в одной точке (так как \(m < 0\)).
Прямая \(y=m\) пересекает параболу в двух точках (так как \(m\) находится между вершиной и точкой \((-5; -4)\)).
Итого: 3 точки.
* Если \(m = -4\):
Прямая \(y=-4\) пересекает \(y=2x+10\): \(2x+10 = -4 \Rightarrow 2x = -14 \Rightarrow x = -7\). \(-7 < -5\), подходит. (1 точка)
Прямая \(y=-4\) пересекает параболу в двух точках (\((-5; -4)\) и \((-1; -4)\)).
Итого: 3 точки.
* Если \(-4 < m < 0\):
Прямая \(y=m\) пересекает \(y=2x+10\) в одной точке (так как \(m < 0\)).
Прямая \(y=m\) пересекает параболу в одной точке (так как \(m\) выше \(-4\), но ниже 0, и парабола идет вверх от \((-5; -4)\)).
Итого: 2 точки.
* Если \(m = 0\):
Прямая \(y=0\) не пересекает \(y=2x+10\) (точка \((-5; 0)\) выколота).
Прямая \(y=0\) пересекает параболу в одной точке (\(x = -3 + 2\sqrt{2} \approx -0.18\)).
Итого: 1 точка.
* Если \(m > 0\):
Прямая \(y=m\) не пересекает \(y=2x+10\) (так как для \(x < -5\), \(y < 0\)).
Прямая \(y=m\) пересекает параболу в одной точке (так как \(m > 0\)).
Итого: 1 точка.
Таким образом, ровно две общие точки получаются при \(m = -8\) и при \(-4 < m < 0\).
Формат ответа: число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10).
В нашем случае это \(-8\) и \((-4;0)\).
Записываем: \(-8(-4;0)\).
Финальная проверка:
График функции:
Левая часть: прямая \(y = 2x + 10\), \(x < -5\). Значения \(y\) от \(-\infty\) до \(0\) (не включая \(0\)).
Правая часть: парабола \(y = x^2 + 6x + 1\), \(x \ge -5\). Вершина \((-3; -8)\). Значения \(y\) от \(-8\) до \(+\infty\). Точка \((-5; -4)\) включена.
1. \(m < -8\):
Пересечение с прямой: \(2x+10=m \Rightarrow x = (m-10)/2\). Так как \(m < -8\), то \(m-10 < -18\), \(x < -9\). Это удовлетворяет \(x < -5\). (1 точка)
Пересечение с параболой: \(x^2+6x+1=m \Rightarrow x^2+6x+(1-m)=0\). Дискриминант \(D = 36 - 4(1-m) = 36 - 4 + 4m = 32 + 4m\).
Если \(m < -8\), то \(4m < -32\), \(32+4m < 0\). Дискриминант отрицательный, нет пересечений.
Итого: 1 точка.
2. \(m = -8\):
Пересечение с прямой: \(2x+10=-8 \Rightarrow x = -9\). \(-9 < -5\). (1 точка)
Пересечение с параболой: \(x^2+6x+1=-8 \Rightarrow x^2+6x+9=0 \Rightarrow (x+3)^2=0 \Rightarrow x=-3\). \(-3 \ge -5\). (1 точка)
Итого: 2 точки.
3. \(-8 < m < -4\):
Пересечение с прямой: \(x = (m-10)/2\). Так как \(-8 < m < -4\), то \(-18 < m-10 < -14\), \(-9 < x < -7\). Это удовлетворяет \(x < -5\). (1 точка)
Пересечение с параболой: \(D = 32+4m\). Так как \(m > -8\), \(D > 0\), есть два корня.
\(x = -3 \pm \sqrt{8+m}\).
Оба корня должны быть \(\ge -5\).
\(-3 - \sqrt{8+m} \ge -5 \Rightarrow \sqrt{8+m} \le 2 \Rightarrow 8+m \le 4 \Rightarrow m \le -4\).
\(-3 + \sqrt{8+m} \ge -5 \Rightarrow \sqrt{8+m} \ge -2\). Это всегда верно, так как корень неотрицателен.
Так как \(-8 < m < -4\), то \(m < -4\), поэтому \(x_1 = -3 - \sqrt{8+m}\) будет \(\ge -5\).
Например, при \(m = -7\), \(x = -3 \pm \sqrt{1} = -3 \pm 1\). \(x_1 = -4\), \(x_2 = -2\). Оба \(\ge -5\). (2 точки)
Итого: 1 + 2 = 3 точки.
4. \(m = -4\):
Пересечение с прямой: \(2x+10=-4 \Rightarrow x = -7\). \(-7 < -5\). (1 точка)
Пересечение с параболой: \(x^2+6x+1=-4 \Rightarrow x^2+6x+5=0 \Rightarrow (x+1)(x+5)=0\). \(x=-1\) или \(x=-5\). Оба \(\ge -5\). (2 точки)
Итого: 1 + 2 = 3 точки.
5. \(-4 < m < 0\):
Пересечение с прямой: \(x = (m-10)/2\). Так как \(-4 < m < 0\), то \(-14 < m-10 < -10\), \(-7 < x < -5\). Это удовлетворяет \(x < -5\). (1 точка)
Пересечение с параболой: \(D = 32+4m\). Так как \(m > -4\), \(D > 0\), есть два корня.
\(x = -3 \pm \sqrt{8+m}\).
Мы знаем, что \(x_1 = -3 - \sqrt{8+m}\) будет \(\ge -5\) только если \(m \le -4\).
Так как \(m > -4\), то \(x_1 = -3 - \sqrt{8+m}\) будет \(< -5\). Например, при \(m = -2\), \(x_1 = -3 - \sqrt{6} \approx -5.45\). Не подходит.
\(x_2 = -3 + \sqrt{8+m}\). Этот корень всегда \(\ge -5\) (так как \(\sqrt{8+m} \ge 0\)).
Например, при \(m = -2\), \(x_2 = -3 + \sqrt{6} \approx -0.55\). Подходит. (1 точка)
Итого: 1 + 1 = 2 точки.
6. \(m = 0\):
Пересечение с прямой: \(2x+10=0 \Rightarrow x=-5\). Но \(x < -5\), поэтому точка \((-5; 0)\) выколота. Нет пересечений.
Пересечение с параболой: \(x^2+6x+1=0 \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}\).
\(x_1 = -3 - 2\sqrt{2} \approx -5.82\). Не подходит, так как \(x \ge -5\).
\(x_2 = -3 + 2\sqrt{2} \approx -0.18\). Подходит, так как \(x \ge -5\). (1 точка)
Итого: 1 точка.
7. \(m > 0\):
Пересечение с прямой: \(x = (m-10)/2\). Так как \(m > 0\), то \(m-10 > -10\), \(x > -5\). Это не удовлетворяет \(x < -5\). Нет пересечений.
Пересечение с параболой: \(D = 32+4m\). Так как \(m > 0\), \(D > 0\), есть два корня.
\(x = -3 \pm \sqrt{8+m}\).
\(x_1 = -3 - \sqrt{8+m}\). Так как \(m > 0\), \(\sqrt{8+m} > \sqrt{8} \approx 2.8\). \(x_1 < -3 - 2.8 = -5.8\). Не подходит, так как \(x \ge -5\).
\(x_2 = -3 + \sqrt{8+m}\). Этот корень всегда \(\ge -5\). (1 точка)
Итого: 1 точка.
Таким образом, ровно две общие точки получаются при \(m = -8\) и при \(-4 < m < 0\).
Ответ: \(-8(-4;0)\).
Ответ: \(-8(-4;0)\)
