Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
Задача 4
Источник звука издаёт сложный звук, состоящий из основного тона с частотой 50 Гц и интенсивностью \(10^{-5}\) Вт/м\(^2\), а также четвёртой и двенадцатой гармоник. Интенсивности их относятся как 10:1:1. Определить общую интенсивность сложного звука и уровни громкости каждой составляющей.
Дано:
Основной тон:
Частота \(f_1 = 50\) Гц
Интенсивность \(I_1 = 10^{-5}\) Вт/м\(^2\)
Гармоники:
Четвёртая гармоника (обозначим её как вторая составляющая)
Двенадцатая гармоника (обозначим её как третья составляющая)
Отношение интенсивностей: \(I_1 : I_2 : I_3 = 10 : 1 : 1\)
Пороговая интенсивность звука \(I_0 = 10^{-12}\) Вт/м\(^2\) (стандартное значение)
Найти:
Общая интенсивность сложного звука \(I_{общ}\)
Уровни громкости каждой составляющей \(L_1, L_2, L_3\)
Решение:
1. Определим интенсивности гармоник.
Известно, что \(I_1 = 10^{-5}\) Вт/м\(^2\).
Отношение интенсивностей \(I_1 : I_2 : I_3 = 10 : 1 : 1\).
Это означает, что \(I_1 = 10x\), \(I_2 = x\), \(I_3 = x\), где \(x\) - некоторая величина.
Так как \(I_1 = 10^{-5}\) Вт/м\(^2\), то \(10x = 10^{-5}\) Вт/м\(^2\).
Отсюда \(x = \frac{10^{-5}}{10} = 10^{-6}\) Вт/м\(^2\).
Значит, интенсивности составляющих равны:
Основной тон: \(I_1 = 10^{-5}\) Вт/м\(^2\)
Четвёртая гармоника: \(I_2 = 10^{-6}\) Вт/м\(^2\)
Двенадцатая гармоника: \(I_3 = 10^{-6}\) Вт/м\(^2\)
2. Определим общую интенсивность сложного звука.
Общая интенсивность сложного звука равна сумме интенсивностей всех его составляющих:
\(I_{общ} = I_1 + I_2 + I_3\)
\(I_{общ} = 10^{-5} + 10^{-6} + 10^{-6}\)
\(I_{общ} = 10 \cdot 10^{-6} + 1 \cdot 10^{-6} + 1 \cdot 10^{-6}\)
\(I_{общ} = (10 + 1 + 1) \cdot 10^{-6}\)
\(I_{общ} = 12 \cdot 10^{-6}\) Вт/м\(^2\)
3. Определим уровни громкости каждой составляющей.
Уровень громкости (уровень интенсивности звука) \(L\) в децибелах (дБ) определяется по формуле:
\(L = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)\), где \(I_0 = 10^{-12}\) Вт/м\(^2\).
Для основного тона:
\(L_1 = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{10^{-5}}{10^{-12}} \right)\)
\(L_1 = 10 \cdot \log_{10} (10^{-5 - (-12)})\)
\(L_1 = 10 \cdot \log_{10} (10^7)\)
\(L_1 = 10 \cdot 7 = 70\) дБ
Для четвёртой гармоники:
\(L_2 = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{10^{-6}}{10^{-12}} \right)\)
\(L_2 = 10 \cdot \log_{10} (10^{-6 - (-12)})\)
\(L_2 = 10 \cdot \log_{10} (10^6)\)
\(L_2 = 10 \cdot 6 = 60\) дБ
Для двенадцатой гармоники:
\(L_3 = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{10^{-6}}{10^{-12}} \right)\)
\(L_3 = 10 \cdot \log_{10} (10^{-6 - (-12)})\)
\(L_3 = 10 \cdot \log_{10} (10^6)\)
\(L_3 = 10 \cdot 6 = 60\) дБ
Ответ:
Общая интенсивность сложного звука: \(I_{общ} = 12 \cdot 10^{-6}\) Вт/м\(^2\).
Уровни громкости составляющих:
Основной тон: \(L_1 = 70\) дБ.
Четвёртая гармоника: \(L_2 = 60\) дБ.
Двенадцатая гармоника: \(L_3 = 60\) дБ.
Задача 5
Во сколько раз гемодинамическое сопротивление артериол больше гемодинамического сопротивления аорты, если средняя длина артериолы 1,5 мм, средний радиус 20 мкм, а общее число в большом круге кровообращения \(10^5\)? Диаметр аорты 2 см, длина 0,4 м.
Дано:
Для артериол:
Средняя длина артериолы \(l_{арт} = 1,5\) мм \( = 1,5 \cdot 10^{-3}\) м
Средний радиус артериолы \(r_{арт} = 20\) мкм \( = 20 \cdot 10^{-6}\) м \( = 2 \cdot 10^{-5}\) м
Общее число артериол \(N_{арт} = 10^5\)
Для аорты:
Диаметр аорты \(D_{аорт} = 2\) см \( = 2 \cdot 10^{-2}\) м
Радиус аорты \(r_{аорт} = D_{аорт} / 2 = 1 \cdot 10^{-2}\) м
Длина аорты \(l_{аорт} = 0,4\) м
Найти:
Отношение гемодинамического сопротивления артериол к гемодинамическому сопротивлению аорты: \(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}}\)
Решение:
Гемодинамическое сопротивление сосуда \(R\) описывается формулой Пуазейля:
\(R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}\), где:
\(\eta\) - вязкость крови (можно считать одинаковой для всех сосудов, поэтому она сократится при делении)
\(l\) - длина сосуда
\(r\) - радиус сосуда
1. Рассчитаем гемодинамическое сопротивление одной артериолы.
\(R_{1.арт} = \frac{8 \eta l_{арт}}{\pi r_{арт}^4}\)
\(R_{1.арт} = \frac{8 \eta \cdot (1,5 \cdot 10^{-3})}{\pi \cdot (2 \cdot 10^{-5})^4}\)
\(R_{1.арт} = \frac{8 \eta \cdot 1,5 \cdot 10^{-3}}{\pi \cdot 16 \cdot 10^{-20}}\)
\(R_{1.арт} = \frac{12 \eta \cdot 10^{-3}}{16 \pi \cdot 10^{-20}}\)
\(R_{1.арт} = \frac{0,75 \eta}{\pi} \cdot 10^{17}\)
2. Рассчитаем общее гемодинамическое сопротивление всех артериол.
Артериолы соединены параллельно. При параллельном соединении сопротивлений, общее сопротивление \(R_{общ}\) находится по формуле:
\(\frac{1}{R_{общ}} = \sum \frac{1}{R_i}\)
Так как все артериолы имеют одинаковое сопротивление \(R_{1.арт}\) и их \(N_{арт}\) штук, то:
\(\frac{1}{R_{общ.арт}} = N_{арт} \cdot \frac{1}{R_{1.арт}}\)
\(R_{общ.арт} = \frac{R_{1.арт}}{N_{арт}}\)
\(R_{общ.арт} = \frac{0,75 \eta \cdot 10^{17}}{\pi \cdot 10^5}\)
\(R_{общ.арт} = \frac{0,75 \eta}{\pi} \cdot 10^{12}\)
3. Рассчитаем гемодинамическое сопротивление аорты.
\(R_{аорт} = \frac{8 \eta l_{аорт}}{\pi r_{аорт}^4}\)
\(R_{аорт} = \frac{8 \eta \cdot 0,4}{\pi \cdot (1 \cdot 10^{-2})^4}\)
\(R_{аорт} = \frac{3,2 \eta}{\pi \cdot 1 \cdot 10^{-8}}\)
\(R_{аорт} = \frac{3,2 \eta}{\pi} \cdot 10^8\)
4. Найдем отношение гемодинамического сопротивления артериол к гемодинамическому сопротивлению аорты.
\(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{\frac{0,75 \eta}{\pi} \cdot 10^{12}}{\frac{3,2 \eta}{\pi} \cdot 10^8}\)
\(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{0,75 \cdot 10^{12}}{3,2 \cdot 10^8}\)
\(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{0,75}{3,2} \cdot 10^{12-8}\)
\(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{0,75}{3,2} \cdot 10^4\)
\(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} \approx 0,234375 \cdot 10^4\)
\(\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} \approx 2343,75\)
Ответ:
Гемодинамическое сопротивление артериол примерно в 2344 раза больше гемодинамического сопротивления аорты.
Задача 6
Опыт показывает, что стальная проволока с площадью сечения 1 мм\(^2\), длиной 1 м при нагрузке в 20 кг удлиняется на 1 мм. Какое удлинение получится, если стальную проволоку с сечением 0,5 мм\(^2\) и длиной 3 м нагрузить гирей в 30 кг?
Дано:
Для первого случая:
Площадь сечения \(S_1 = 1\) мм\(^2\)
Длина \(L_1 = 1\) м
Масса нагрузки \(m_1 = 20\) кг
Удлинение \(\Delta L_1 = 1\) мм
Для второго случая:
Площадь сечения \(S_2 = 0,5\) мм\(^2\)
Длина \(L_2 = 3\) м
Масса нагрузки \(m_2 = 30\) кг
Найти:
Удлинение \(\Delta L_2\)
Решение:
Удлинение проволоки под действием силы описывается законом Гука:
\(\Delta L = \frac{F \cdot L}{E \cdot S}\), где:
\(F\) - приложенная сила
\(L\) - начальная длина проволоки
\(E\) - модуль Юнга (модуль упругости материала)
\(S\) - площадь поперечного сечения проволоки
Так как проволока стальная в обоих случаях, модуль Юнга \(E\) одинаков.
Сила \(F\) связана с массой \(m\) нагрузки формулой \(F = m \cdot g\), где \(g\) - ускорение свободного падения. Поскольку \(g\) также одинаково, мы можем использовать отношение масс.
1. Выразим модуль Юнга \(E\) из первого случая.
\(F_1 = m_1 \cdot g = 20g\)
\(\Delta L_1 = \frac{F_1 \cdot L_1}{E \cdot S_1}\)
\(E = \frac{F_1 \cdot L_1}{\Delta L_1 \cdot S_1}\)
\(E = \frac{20g \cdot 1 \text{ м}}{1 \text{ мм} \cdot 1 \text{ мм}^2}\)
Важно использовать согласованные единицы измерения. Переведём всё в СИ:
\(S_1 = 1\) мм\(^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\)
\(L_1 = 1\) м
\(\Delta L_1 = 1\) мм \( = 1 \cdot 10^{-3}\) м
\(F_1 = 20g\) Н
\(E = \frac{20g \cdot 1}{1 \cdot 10^{-3} \cdot 1 \cdot 10^{-6}} = \frac{20g}{10^{-9}} = 20g \cdot 10^9\) Па
2. Выразим удлинение \(\Delta L_2\) для второго случая.
\(F_2 = m_2 \cdot g = 30g\)
\(S_2 = 0,5\) мм\(^2 = 0,5 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\)
\(L_2 = 3\) м
\(\Delta L_2 = \frac{F_2 \cdot L_2}{E \cdot S_2}\)
Подставим выражение для \(E\):
\(\Delta L_2 = \frac{30g \cdot 3}{(20g \cdot 10^9) \cdot (0,5 \cdot 10^{-6})}\)
\(\Delta L_2 = \frac{90g}{10g \cdot 10^3}\)
\(\Delta L_2 = \frac{90g}{10000g}\)
\(\Delta L_2 = \frac{90}{10000}\)
\(\Delta L_2 = 0,009\) м
Переведём результат в миллиметры:
\(\Delta L_2 = 0,009 \cdot 1000\) мм \( = 9\) мм
Альтернативный способ (через отношения):
Мы знаем, что \(\Delta L = \frac{F \cdot L}{E \cdot S}\).
Тогда \(\Delta L_1 = \frac{F_1 \cdot L_1}{E \cdot S_1}\) и \(\Delta L_2 = \frac{F_2 \cdot L_2}{E \cdot S_2}\).
Разделим второе уравнение на первое:
\(\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{\frac{F_2 \cdot L_2}{E \cdot S_2}}{\frac{F_1 \cdot L_1}{E \cdot S_1}}\)
Модуль Юнга \(E\) сокращается:
\(\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{F_2 \cdot L_2 \cdot S_1}{F_1 \cdot L_1 \cdot S_2}\)
Подставим значения:
\(F_1 = m_1 g = 20g\)
\(F_2 = m_2 g = 30g\)
\(\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{30g \cdot L_2 \cdot S_1}{20g \cdot L_1 \cdot S_2}\)
\(g\) также сокращается:
\(\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{30 \cdot L_2 \cdot S_1}{20 \cdot L_1 \cdot S_2}\)
\(\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{3 \cdot L_2 \cdot S_1}{2 \cdot L_1 \cdot S_2}\)
Теперь подставим числовые значения, используя миллиметры для удлинения и площади, и метры для длины, так как отношения единиц сократятся:
\(L_1 = 1\) м
\(S_1 = 1\) мм\(^2\)
\(\Delta L_1 = 1\) мм
\(L_2 = 3\) м
\(S_2 = 0,5\) мм\(^2\)
\(\frac{\Delta L_2}{1 \text{ мм}} = \frac{3 \cdot 3 \text{ м} \cdot 1 \text{ мм}^2}{2 \cdot 1 \text{ м} \cdot 0,5 \text{ мм}^2}\)
\(\frac{\Delta L_2}{1 \text{ мм}} = \frac{9}{1}\)
\(\Delta L_2 = 9 \cdot 1 \text{ мм}\)
\(\Delta L_2 = 9\) мм
Ответ:
Удлинение проволоки во втором случае составит 9 мм.
