Исследование сходимости ряда ∑ n^2/2^n

Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} \] Решение: Для исследования сходимости данного ряда воспользуемся признаком Даламбера. Признак Даламбера гласит: если для ряда с положительными членами \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) существует предел \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \), то: 1. Если \( L < 1 \), то ряд сходится. 2. Если \( L > 1 \) или \( L = \infty \), то ряд расходится. 3. Если \( L = 1 \), то признак Даламбера не даёт ответа, и нужно использовать другие признаки. В нашем случае общий член ряда \( a_n = \frac{n^2}{2^n} \). Найдём \( a_{n+1} \): \( a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \) Теперь найдём отношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \): \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} \] \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} \] \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} \] \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} \] Теперь вычислим предел \( L \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} \right) \] Поскольку \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \), то: \[ L = \left( 1 + 0 \right)^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ L = 1^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ L = 1 \cdot \frac{1}{2} \] \[ L = \frac{1}{2} \] Мы получили \( L = \frac{1}{2} \). Так как \( L = \frac{1}{2} < 1 \), то по признаку Даламбера данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.