Решение задачи: Траектория точки M

Траектория точки \(M\), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке \(F(-1;0)\), чем к прямой \(x = -4\), имеет вид... Выберите один ответ: * \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\] * \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\] * \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\] * \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\] Решение: Пусть точка \(M\) имеет координаты \((x;y)\). Расстояние от точки \(M(x;y)\) до точки \(F(-1;0)\) обозначим как \(d_1\). \[d_1 = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}\] Расстояние от точки \(M(x;y)\) до прямой \(x = -4\) (или \(x+4=0\)) обозначим как \(d_2\). \[d_2 = \frac{|x+4|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |x+4|\] По условию, точка \(M\) остается вдвое ближе к точке \(F\), чем к прямой, то есть \(d_1 = \frac{1}{2} d_2\). \[\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \frac{1}{2} |x+4|\] Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля: \[(x+1)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2} (x+4)\right)^2\] \[(x+1)^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x+4)^2\] Раскроем скобки: \[x^2 + 2x + 1 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 + 8x + 16)\] Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби: \[4(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 + 8x + 16\] \[4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 8x + 16\] Перенесем все члены в левую часть: \[4x^2 - x^2 + 8x - 8x + 4y^2 + 4 - 16 = 0\] \[3x^2 + 4y^2 - 12 = 0\] Перенесем константу в правую часть: \[3x^2 + 4y^2 = 12\] Чтобы привести уравнение к каноническому виду эллипса \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\], разделим обе части уравнения на 12: \[\frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = \frac{12}{12}\] \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\] Это уравнение эллипса. Сравним полученный результат с предложенными вариантами: * \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\] * \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\] * \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\] * \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\] Правильный ответ: \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\] Ответ: Траектория точки \(M\) имеет вид: \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\]