Определение нечетных функций: Решение задачи

Выяснить, какие из функций являются нечетными. Функция \(f(x)\) называется нечетной, если для любого \(x\) из ее области определения выполняется условие \(f(-x) = -f(x)\). Рассмотрим каждую функцию по очереди. 1. Функция: \(y = x^3 \operatorname{tg} x\) Обозначим \(f(x) = x^3 \operatorname{tg} x\). Найдем \(f(-x)\): \[f(-x) = (-x)^3 \operatorname{tg}(-x)\] Мы знаем, что \((-x)^3 = -x^3\) и \(\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x\) (так как тангенс - нечетная функция). \[f(-x) = (-x^3) (-\operatorname{tg} x) = x^3 \operatorname{tg} x\] Так как \(f(-x) = f(x)\), эта функция является четной, а не нечетной. (В задании этот вариант отмечен, но по нашим расчетам он четный. Возможно, в задании ошибка или я неправильно понял условие.) 2. Функция: \(y = x^3 + \operatorname{tg} x\) Обозначим \(f(x) = x^3 + \operatorname{tg} x\). Найдем \(f(-x)\): \[f(-x) = (-x)^3 + \operatorname{tg}(-x)\] \[f(-x) = -x^3 - \operatorname{tg} x\] Вынесем минус за скобки: \[f(-x) = -(x^3 + \operatorname{tg} x)\] Так как \(f(-x) = -f(x)\), эта функция является нечетной. 3. Функция: \(y = \frac{x}{\cos x} + \sin x\) Обозначим \(f(x) = \frac{x}{\cos x} + \sin x\). Найдем \(f(-x)\): \[f(-x) = \frac{-x}{\cos(-x)} + \sin(-x)\] Мы знаем, что \(\cos(-x) = \cos x\) (косинус - четная функция) и \(\sin(-x) = -\sin x\) (синус - нечетная функция). \[f(-x) = \frac{-x}{\cos x} - \sin x\] Вынесем минус за скобки: \[f(-x) = -\left(\frac{x}{\cos x} + \sin x\right)\] Так как \(f(-x) = -f(x)\), эта функция является нечетной. 4. Функция: \(y = \frac{x(x+1)}{\sin x}\) Обозначим \(f(x) = \frac{x(x+1)}{\sin x}\). Найдем \(f(-x)\): \[f(-x) = \frac{(-x)(-x+1)}{\sin(-x)}\] \[f(-x) = \frac{-x(1-x)}{-\sin x}\] \[f(-x) = \frac{x(1-x)}{\sin x}\] Сравним \(f(-x)\) с \(f(x)\): \[f(x) = \frac{x(x+1)}{\sin x} = \frac{x^2+x}{\sin x}\] \[f(-x) = \frac{x(1-x)}{\sin x} = \frac{x-x^2}{\sin x}\] Очевидно, что \(f(-x) \neq f(x)\) и \(f(-x) \neq -f(x)\). Например, если \(x=1\), \(f(1) = \frac{1(1+1)}{\sin 1} = \frac{2}{\sin 1}\). \(f(-1) = \frac{(-1)(-1+1)}{\sin(-1)} = \frac{0}{-\sin 1} = 0\). Так как \(f(1) \neq 0\) и \(f(-1) = 0\), функция не является ни четной, ни нечетной. Она является функцией общего вида. Итак, нечетными функциями являются: * \(y = x^3 + \operatorname{tg} x\) * \(y = \frac{x}{\cos x} + \sin x\) В предложенных вариантах отмечены \(y = x^3 \operatorname{tg} x\) и \(y = \frac{x}{\cos x} + \sin x\). По нашим расчетам, \(y = x^3 \operatorname{tg} x\) является четной функцией. Если следовать отметкам в задании, то это может быть ошибкой в задании или я не учел какой-то нюанс. Однако, по стандартному определению четности/нечетности функций, \(x^3 \operatorname{tg} x\) - четная. Предполагая, что в задании нужно выбрать все нечетные функции, и основываясь на математических определениях: Нечетные функции: * \(y = x^3 + \operatorname{tg} x\) * \(y = \frac{x}{\cos x} + \sin x\) Если же нужно выбрать из предложенных вариантов, которые отмечены, то это: * \(y = x^3 \operatorname{tg} x\) (по нашим расчетам - четная) * \(y = \frac{x}{\cos x} + \sin x\) (по нашим расчетам - нечетная) Я буду придерживаться строго математических определений. Ответ: Нечетными функциями являются: * \(y = x^3 + \operatorname{tg} x\) * \(y = \frac{x}{\cos x} + \sin x\)