Решение задачи: Свойства функции y = arcsin x

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Укажите верные утверждения для функции \(y = \arcsin x\). Выберите один или несколько ответов: * неограниченная * монотонная * нечетная * неявная * ограниченная * сложная * четная * явная * общего вида --- Решение: Рассмотрим функцию \(y = \arcsin x\). 1. Область определения функции \(y = \arcsin x\) — это интервал \([-1; 1]\). 2. Область значений функции \(y = \arcsin x\) — это интервал \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). Теперь проанализируем каждое утверждение: * **неограниченная** * Функция \(y = \arcsin x\) принимает значения только в интервале \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). Это означает, что её значения не могут быть сколь угодно большими или сколь угодно малыми. * Следовательно, функция **не является неограниченной**. * **монотонная** * Функция \(y = \arcsin x\) является обратной к функции \(y = \sin x\) на интервале \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). На этом интервале функция \(y = \sin x\) строго возрастает. * Обратная функция к строго монотонной функции также является строго монотонной. * Следовательно, функция \(y = \arcsin x\) **является монотонной** (строго возрастающей). * **нечетная** * Функция является нечетной, если для любого \(x\) из области определения выполняется условие \(f(-x) = -f(x)\). * Для \(y = \arcsin x\): \(\arcsin(-x) = -\arcsin x\). * Это свойство арксинуса. * Следовательно, функция \(y = \arcsin x\) **является нечетной**. * **неявная** * Явная функция — это функция, которая задана в виде \(y = f(x)\), то есть \(y\) выражен через \(x\). * Неявная функция — это функция, заданная уравнением вида \(F(x, y) = 0\), где \(y\) не выражен явно через \(x\). * Функция \(y = \arcsin x\) задана в виде \(y = f(x)\). * Следовательно, функция **не является неявной**. * **ограниченная** * Функция является ограниченной, если существует такое число \(M\), что для всех \(x\) из области определения \(|f(x)| \le M\). * Для \(y = \arcsin x\), область значений \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). Мы можем взять \(M = \frac{\pi}{2}\). Тогда \(|\arcsin x| \le \frac{\pi}{2}\). * Следовательно, функция \(y = \arcsin x\) **является ограниченной**. * **сложная** * Сложная функция (или композиция функций) — это функция вида \(f(g(x))\). Например, \(y = \arcsin(2x)\) или \(y = \arcsin(x^2)\). * Функция \(y = \arcsin x\) является элементарной функцией, но не является композицией других функций в данном виде. * Следовательно, функция **не является сложной** в общем смысле. * **четная** * Функция является четной, если для любого \(x\) из области определения выполняется условие \(f(-x) = f(x)\). * Мы уже выяснили, что \(\arcsin(-x) = -\arcsin x\), а не \(\arcsin x\). * Следовательно, функция **не является четной**. * **явная** * Как было сказано выше, функция \(y = \arcsin x\) задана в виде \(y = f(x)\). * Следовательно, функция \(y = \arcsin x\) **является явной**. * **общего вида** * Функция общего вида — это функция, которая не является ни четной, ни нечетной. * Мы уже выяснили, что функция \(y = \arcsin x\) является нечетной. * Следовательно, функция **не является функцией общего вида**. --- Итого, верные утверждения для функции \(y = \arcsin x\): * монотонная * нечетная * ограниченная * явная --- Ответ: Верные утверждения: * монотонная * нечетная * ограниченная * явная