Решение задачи: Исследование ряда ∑ (-1)^n * n/(n^2-1) на сходимость

Задача: Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2-1} \] Решение: Данный ряд является знакопеременным. Для исследования его на сходимость воспользуемся признаком Лейбница. Признак Лейбница гласит, что знакопеременный ряд вида \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \quad \text{или} \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \] сходится, если выполнены два условия: 1. Последовательность \(a_n\) является монотонно убывающей, то есть \(a_{n+1} \le a_n\) для всех \(n\). 2. Предел последовательности \(a_n\) равен нулю, то есть \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). В нашем случае \(a_n = \frac{n}{n^2-1}\). Проверим первое условие: монотонность. Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{x}{x^2-1}\) для \(x \ge 2\). Найдем производную этой функции: \[ f'(x) = \frac{(x)'(x^2-1) - x(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-1) - x \cdot (2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1 - 2x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \] Для \(x \ge 2\), числитель \(-x^2-1\) всегда отрицателен, а знаменатель \((x^2-1)^2\) всегда положителен. Следовательно, \(f'(x) < 0\) для всех \(x \ge 2\). Это означает, что функция \(f(x)\) монотонно убывает на интервале \([2, \infty)\). Таким образом, последовательность \(a_n = \frac{n}{n^2-1}\) является монотонно убывающей для \(n \ge 2\). Первое условие выполнено. Проверим второе условие: предел. Найдем предел последовательности \(a_n\) при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2-1} \] Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} = \frac{0}{1-0} = 0 \] Предел последовательности \(a_n\) равен нулю. Второе условие выполнено. Поскольку оба условия признака Лейбница выполнены, данный знакопеременный ряд сходится. Теперь исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд из абсолютных величин: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \left| (-1)^n \frac{n}{n^2-1} \right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} \] Это знакоположительный ряд. Для исследования его на сходимость воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним его с гармоническим рядом \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \), который, как известно, расходится. Найдем предел отношения общих членов этих рядов: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot n}{n^2-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2-1} \] Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{1-0} = 1 \] Поскольку предел равен 1 (конечное число, не равное нулю), и ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \) расходится, то и ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} \) также расходится. Таким образом, ряд из абсолютных величин расходится, что означает, что исходный ряд не сходится абсолютно. Вывод: Исходный ряд сходится по признаку Лейбница, но не сходится абсолютно. Следовательно, ряд сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно.