Какие функции являются сложными? Решение с объяснением

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Выяснить, какие из функций являются сложными: Выберите один ответ: 1. \(y = \arcsin x\) 2. \(y = \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{3}}\) 3. \(y = \arcsin 3x\) 4. \(y = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^x\) --- Решение: Сложная функция (или композиция функций) — это функция, которая получается путем подстановки одной функции в другую. Если функция \(y = f(u)\) и \(u = g(x)\), то сложная функция имеет вид \(y = f(g(x))\). Рассмотрим каждую из предложенных функций: 1. **\(y = \arcsin x\)** * Эта функция является одной из основных элементарных функций. Она не представляет собой композицию двух или более функций, где аргумент основной функции сам является функцией от \(x\). * Например, если бы было \(y = \arcsin(x^2)\), то это была бы сложная функция, где внешняя функция \(f(u) = \arcsin u\) и внутренняя функция \(u = x^2\). * В данном случае, аргумент арксинуса — это просто \(x\). * Следовательно, \(y = \arcsin x\) **не является сложной функцией**. 2. **\(y = \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{3}}\)** * Эту функцию можно представить как произведение константы на другую функцию: \(y = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 2^{\sqrt{x}}\). * Рассмотрим часть \(2^{\sqrt{x}}\). Здесь внешняя функция — это показательная функция \(f(u) = 2^u\), а внутренняя функция — это корень квадратный \(u = \sqrt{x}\). * Поскольку \(2^{\sqrt{x}}\) является сложной функцией, то и вся функция \(y = \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{3}}\) **является сложной функцией**. 3. **\(y = \arcsin 3x\)** * Здесь внешняя функция — это арксинус \(f(u) = \arcsin u\). * Внутренняя функция — это линейная функция \(u = 3x\). * Поскольку аргумент арксинуса является функцией от \(x\) (а именно \(3x\)), то эта функция является композицией двух функций. * Следовательно, \(y = \arcsin 3x\) **является сложной функцией**. 4. **\(y = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^x\)** * Эта функция является показательной функцией общего вида \(y = a^x\), где \(a = \frac{2}{\sqrt{3}}\) — это константа. * Аргумент показательной функции — это просто \(x\). * Она не является композицией двух или более функций, где аргумент основной функции сам является функцией от \(x\). * Следовательно, \(y = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^x\) **не является сложной функцией**. --- Из анализа следует, что сложными функциями являются \(y = \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{3}}\) и \(y = \arcsin 3x\). Однако, в задании требуется выбрать **один ответ**. Это может означать, что нужно выбрать наиболее очевидный пример сложной функции или что в списке только один вариант является сложной функцией. Если предполагается, что только один вариант является правильным, то это может быть ошибкой в формулировке задания, так как обе функции 2 и 3 являются сложными. Если нужно выбрать только один ответ, и предполагается, что только один из них является сложной функцией, то это не совсем корректно. Но если выбирать из предложенных, то обе функции 2 и 3 подходят под определение сложной функции. Предположим, что вопрос подразумевает выбор *любой* из сложных функций, и мы должны указать одну из них. В таком случае, можно выбрать любую из двух. Если же вопрос подразумевает, что только один вариант является *единственной* сложной функцией среди предложенных, то это не так. Однако, если мы должны выбрать *один* ответ, и оба варианта 2 и 3 являются сложными, то это может быть проблемой в задании. Но если выбирать из предложенных, то наиболее типичным примером сложной функции, которую часто рассматривают в начале изучения производных, является функция вида \(f(ax+b)\) или \(f(x^n)\). Давайте выберем один из вариантов, который является сложной функцией. Например, \(y = \arcsin 3x\). --- Ответ: Сложной функцией является: * \(y = \arcsin 3x\) (Также сложной функцией является \(y = \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{3}}\), но поскольку требуется выбрать один ответ, выбираем один из них).