Решение задачи: Параллелограмм и биссектриса угла

Задача 1

Дано:

Параллелограмм \(ABCD\).

Сторона \(AB = 18\).

Биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\).

Отрезок \(AM\) перпендикулярен отрезку \(MD\).

Найти:

Периметр параллелограмма \(P_{ABCD}\).

Решение:

1. Поскольку \(AM\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAM = \angle MAD\).
2. Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD \parallel BC\).
3. Из параллельности \(AD \parallel BC\) и секущей \(AM\) следует, что \(\angle MAD = \angle AMB\) (как накрест лежащие углы).
4. Из пунктов 1 и 3 получаем, что \(\angle BAM = \angle AMB\).
5. Если в треугольнике \(\triangle ABM\) углы при основании \(AM\) равны (\(\angle BAM = \angle AMB\)), то этот треугольник равнобедренный. Значит, \(AB = BM\).
6. По условию \(AB = 18\), следовательно, \(BM = 18\).
7. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). То есть \(\angle A + \angle D = 180^\circ\).
8. По условию \(AM \perp MD\), значит, \(\angle AMD = 90^\circ\).
9. Рассмотрим треугольник \(\triangle AMD\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle MAD + \angle ADM + \angle AMD = 180^\circ\). \(\angle MAD + \angle ADM + 90^\circ = 180^\circ\). \(\angle MAD + \angle ADM = 90^\circ\).
10. Мы знаем, что \(\angle A = 2 \cdot \angle MAD\). Тогда \(\angle A + \angle D = 2 \cdot \angle MAD + \angle D = 180^\circ\). Из пункта 9: \(\angle MAD = 90^\circ - \angle ADM\). Подставим это в уравнение для суммы углов: \(2 \cdot (90^\circ - \angle ADM) + \angle D = 180^\circ\). \(180^\circ - 2 \cdot \angle ADM + \angle D = 180^\circ\). \(-2 \cdot \angle ADM + \angle D = 0\). \(\angle D = 2 \cdot \angle ADM\). Это означает, что \(DM\) является биссектрисой угла \(D\).
11. Так как \(DM\) — биссектриса угла \(D\), то \(\angle CDM = \angle ADM\).
12. Из параллельности \(AD \parallel BC\) и секущей \(DM\) следует, что \(\angle ADM = \angle DMC\) (как накрест лежащие углы).
13. Из пунктов 11 и 12 получаем, что \(\angle CDM = \angle DMC\).
14. Если в треугольнике \(\triangle CDM\) углы при основании \(DM\) равны (\(\angle CDM = \angle DMC\)), то этот треугольник равнобедренный. Значит, \(CD = CM\).
15. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(AB = CD = 18\).
16. Следовательно, \(CM = 18\).
17. Сторона \(BC = BM + MC\). \(BC = 18 + 18 = 36\).
18. Периметр параллелограмма \(P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)\). \(P_{ABCD} = 2 \cdot (18 + 36)\). \(P_{ABCD} = 2 \cdot 54\). \(P_{ABCD} = 108\).

Ответ: \(P_{ABCD} = 108\).

Задача 2

Дано:

Параллелограмм \(ABCD\).

Сторона \(AB = 35\).

Биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\).

Биссектриса угла \(D\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\).

Найти:

Периметр параллелограмма \(P_{ABCD}\).

Решение:

1. Поскольку \(AM\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAM = \angle MAD\).
2. Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD \parallel BC\).
3. Из параллельности \(AD \parallel BC\) и секущей \(AM\) следует, что \(\angle MAD = \angle AMB\) (как накрест лежащие углы).
4. Из пунктов 1 и 3 получаем, что \(\angle BAM = \angle AMB\).
5. Если в треугольнике \(\triangle ABM\) углы при основании \(AM\) равны (\(\angle BAM = \angle AMB\)), то этот треугольник равнобедренный. Значит, \(AB = BM\).
6. По условию \(AB = 35\), следовательно, \(BM = 35\).
7. Поскольку \(DM\) — биссектриса угла \(D\), то \(\angle ADM = \angle MDC\).
8. Из параллельности \(AD \parallel BC\) и секущей \(DM\) следует, что \(\angle ADM = \angle DMC\) (как накрест лежащие углы).
9. Из пунктов 7 и 8 получаем, что \(\angle MDC = \angle DMC\).
10. Если в треугольнике \(\triangle CDM\) углы при основании \(DM\) равны (\(\angle MDC = \angle DMC\)), то этот треугольник равнобедренный. Значит, \(CD = CM\).
11. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(AB = CD = 35\).
12. Следовательно, \(CM = 35\).
13. Сторона \(BC = BM + MC\). \(BC = 35 + 35 = 70\).
14. Периметр параллелограмма \(P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)\). \(P_{ABCD} = 2 \cdot (35 + 70)\). \(P_{ABCD} = 2 \cdot 105\). \(P_{ABCD} = 210\).

Ответ: \(P_{ABCD} = 210\).