Решение задачи: Найти область сходимости функционального ряда

Задача: Найти область сходимости функционального ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(x-1)^n \] Решение: Данный ряд является степенным рядом вида \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \] В нашем случае \( a_n = \frac{1}{2^n} \), \( x_0 = 1 \). Для нахождения радиуса сходимости \( R \) степенного ряда используем формулу Коши-Адамара: \[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \] или формулу Даламбера: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] Воспользуемся формулой Даламбера, так как она часто бывает удобнее для степенных рядов. У нас \( a_n = \frac{1}{2^n} \). Тогда \( a_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} \). Найдем отношение \( \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \): \[ \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^{n+1}}} \right| = \left| \frac{1}{2^n} \cdot \frac{2^{n+1}}{1} \right| = \left| \frac{2^{n+1}}{2^n} \right| = |2| = 2 \] Теперь найдем предел: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} 2 = 2 \] Радиус сходимости \( R = 2 \). Интервал сходимости степенного ряда с центром в точке \( x_0 \) определяется неравенством: \[ |x - x_0| < R \] В нашем случае \( x_0 = 1 \) и \( R = 2 \). \[ |x - 1| < 2 \] Это неравенство можно записать как: \[ -2 < x - 1 < 2 \] Прибавим 1 ко всем частям неравенства: \[ -2 + 1 < x < 2 + 1 \] \[ -1 < x < 3 \] Таким образом, интервал сходимости ряда: \( (-1, 3) \). Теперь необходимо проверить сходимость ряда на концах интервала, то есть при \( x = -1 \) и \( x = 3 \). Случай 1: \( x = -1 \) Подставим \( x = -1 \) в исходный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(-1-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(-2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-2}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \] Это знакопеременный ряд. Проверим его на сходимость. Общий член ряда \( b_n = (-1)^n \). Для сходимости ряда по признаку Лейбница необходимо, чтобы \( \lim_{n \to \infty} |b_n| = 0 \). В нашем случае \( |b_n| = |(-1)^n| = 1 \). \[ \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0 \] Так как предел общего члена ряда не равен нулю, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \) расходится. Случай 2: \( x = 3 \) Подставим \( x = 3 \) в исходный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(3-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1 \] Это ряд, общий член которого равен 1. \[ \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0 \] Так как предел общего члена ряда не равен нулю, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} 1 \) расходится. Итак, на обоих концах интервала ряд расходится. Следовательно, область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости. Ответ: Область сходимости функционального ряда: \( (-1, 3) \).