Разложение ln(x) в ряд Тейлора по степеням (x-2)

Задача: Разложить в ряд по степеням \( (x-2) \) функцию \( f(x) = \ln x \). Решение: Для разложения функции в ряд по степеням \( (x-a) \) используется ряд Тейлора: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \] В нашем случае \( f(x) = \ln x \) и \( a = 2 \). Найдем значения функции и ее производных в точке \( a = 2 \). 1. Сама функция: \( f(x) = \ln x \) \( f(2) = \ln 2 \) 2. Первая производная: \( f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x} \) \( f'(2) = \frac{1}{2} \) 3. Вторая производная: \( f''(x) = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2} \) \( f''(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} \) 4. Третья производная: \( f'''(x) = (-\frac{1}{x^2})' = (-x^{-2})' = -(-2)x^{-3} = \frac{2}{x^3} \) \( f'''(2) = \frac{2}{2^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) 5. Четвертая производная: \( f^{(4)}(x) = (\frac{2}{x^3})' = (2x^{-3})' = 2(-3)x^{-4} = -\frac{6}{x^4} \) \( f^{(4)}(2) = -\frac{6}{2^4} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8} \) Заметим общую закономерность для \( n \ge 1 \): \( f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \) Тогда: \( f^{(n)}(2) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{2^n} \) Теперь подставим эти значения в формулу ряда Тейлора: \[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots \] \[ \ln x = \ln 2 + \frac{1/2}{1!}(x-2) + \frac{-1/4}{2!}(x-2)^2 + \frac{1/4}{3!}(x-2)^3 + \frac{-3/8}{4!}(x-2)^4 + \dots \] \[ \ln x = \ln 2 + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{4 \cdot 2}(x-2)^2 + \frac{1}{4 \cdot 6}(x-2)^3 - \frac{3}{8 \cdot 24}(x-2)^4 + \dots \] \[ \ln x = \ln 2 + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{1}{24}(x-2)^3 - \frac{3}{192}(x-2)^4 + \dots \] \[ \ln x = \ln 2 + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{1}{24}(x-2)^3 - \frac{1}{64}(x-2)^4 + \dots \] Используя общую формулу для \( n \ge 1 \): \[ \frac{f^{(n)}(2)}{n!} (x-2)^n = \frac{(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{2^n}}{n!} (x-2)^n = \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot 2^n} (x-2)^n \] Таким образом, ряд Тейлора для \( \ln x \) по степеням \( (x-2) \) будет: \[ \ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot 2^n} (x-2)^n \] Ответ: Разложение функции \( f(x) = \ln x \) в ряд по степеням \( (x-2) \) имеет вид: \[ \ln x = \ln 2 + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{1}{24}(x-2)^3 - \frac{1}{64}(x-2)^4 + \dots \] или в более компактной форме: \[ \ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot 2^n} (x-2)^n \]