Решение задачи: √2 - 2 / √2 + 2 + 6 - 4√2 / 2

Решим задачу по шагам, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Задача: Найти значение выражения \[ \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} \] Решение: Шаг 1: Упростим первую дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( \sqrt{2} - 2 \). \[ \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} = \frac{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2)} \] Используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) для знаменателя и формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) для числителя. Числитель: \( (\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 = 2 - 4\sqrt{2} + 4 = 6 - 4\sqrt{2} \) Знаменатель: \( (\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2) = (\sqrt{2})^2 - 2^2 = 2 - 4 = -2 \) Таким образом, первая дробь равна: \[ \frac{6 - 4\sqrt{2}}{-2} \] Шаг 2: Упростим вторую дробь. \[ \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} \] Разделим каждый член числителя на 2: \[ \frac{6}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2} \] Шаг 3: Теперь сложим упрощенные дроби. Первая дробь: \( \frac{6 - 4\sqrt{2}}{-2} = -( \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} ) = -(3 - 2\sqrt{2}) = -3 + 2\sqrt{2} \) Вторая дробь: \( 3 - 2\sqrt{2} \) Складываем их: \[ (-3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) \] \[ -3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} \] Шаг 4: Приведем подобные слагаемые. \( (-3 + 3) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0 \) Ответ: Значение выражения равно 0. Запишем решение в тетрадь: Иррациональное выражение Найти значение выражения: \[ \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} \] Решение: 1. Упростим первую дробь \( \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( \sqrt{2} - 2 \). \[ \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} = \frac{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2)} \] Используем формулы: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) и \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \). Числитель: \( (\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 = 2 - 4\sqrt{2} + 4 = 6 - 4\sqrt{2} \) Знаменатель: \( (\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2) = (\sqrt{2})^2 - 2^2 = 2 - 4 = -2 \) Таким образом, первая дробь равна: \[ \frac{6 - 4\sqrt{2}}{-2} = -\left(\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2}\right) = -\left(\frac{6}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2}\right) = -(3 - 2\sqrt{2}) = -3 + 2\sqrt{2} \] 2. Упростим вторую дробь \( \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} \). Разделим каждый член числителя на 2: \[ \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{6}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2} \] 3. Сложим упрощенные дроби: \[ (-3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) \] \[ -3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} \] 4. Приведем подобные слагаемые: \[ (-3 + 3) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0 \] Ответ: 0