Вычисление интеграла ∫dx/(1+x^4) с точностью 10^-4

Решим задачу. Задача: Вычислить интеграл с точностью до \(10^{-4}\): \[ \int_{0}^{0,5} \frac{dx}{1+x^4} \] Решение: Для вычисления данного интеграла с заданной точностью, мы можем использовать разложение подынтегральной функции в степенной ряд. 1. Разложим функцию \( \frac{1}{1+x^4} \) в степенной ряд. Мы знаем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} q^n, \quad \text{при } |q| < 1 \] В нашем случае, \( q = -x^4 \). Тогда: \[ \frac{1}{1+x^4} = \frac{1}{1-(-x^4)} = 1 - x^4 + x^8 - x^{12} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{4n} \] Этот ряд сходится при \( |-x^4| < 1 \), то есть при \( |x^4| < 1 \), что эквивалентно \( |x| < 1 \). Наш интервал интегрирования \( [0, 0.5] \) полностью лежит внутри интервала сходимости \( (-1, 1) \). 2. Проинтегрируем полученный степенной ряд почленно: \[ \int_{0}^{0,5} \frac{dx}{1+x^4} = \int_{0}^{0,5} \left( 1 - x^4 + x^8 - x^{12} + \dots \right) dx \] \[ = \left[ x - \frac{x^5}{5} + \frac{x^9}{9} - \frac{x^{13}}{13} + \dots \right]_{0}^{0,5} \] Подставим пределы интегрирования: \[ = \left( 0,5 - \frac{(0,5)^5}{5} + \frac{(0,5)^9}{9} - \frac{(0,5)^{13}}{13} + \dots \right) - (0 - 0 + 0 - \dots) \] \[ = 0,5 - \frac{(0,5)^5}{5} + \frac{(0,5)^9}{9} - \frac{(0,5)^{13}}{13} + \dots \] 3. Оценим члены ряда, чтобы определить, сколько членов нужно взять для достижения заданной точности \( 10^{-4} \). Полученный ряд является знакопеременным рядом Лейбница, так как его члены убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю. Для такого ряда остаток по модулю не превосходит модуля первого отброшенного члена. Нам нужна точность до \( 10^{-4} \), то есть \( |R_n| < 10^{-4} \). Вычислим первые несколько членов: Первый член: \( a_0 = 0,5 \) Второй член: \( a_1 = -\frac{(0,5)^5}{5} \) \( (0,5)^5 = (1/2)^5 = 1/32 = 0,03125 \) \( a_1 = -\frac{0,03125}{5} = -0,00625 \) Третий член: \( a_2 = \frac{(0,5)^9}{9} \) \( (0,5)^9 = (1/2)^9 = 1/512 \approx 0,001953125 \) \( a_2 = \frac{0,001953125}{9} \approx 0,0002170138 \) Четвертый член: \( a_3 = -\frac{(0,5)^{13}}{13} \) \( (0,5)^{13} = (1/2)^{13} = 1/8192 \approx 0,00012207 \) \( a_3 = -\frac{0,00012207}{13} \approx -0,00000939 \) Мы видим, что абсолютная величина четвертого члена \( |a_3| \approx 0,00000939 \) меньше, чем \( 10^{-4} = 0,0001 \). Следовательно, для достижения заданной точности \( 10^{-4} \), достаточно взять сумму первых трех членов ряда. 4. Вычислим сумму первых трех членов: \( I \approx 0,5 - 0,00625 + 0,0002170138 \) \( I \approx 0,49375 + 0,0002170138 \) \( I \approx 0,4939670138 \) Округлим результат до четвертого знака после запятой, так как точность \( 10^{-4} \) означает, что мы должны получить результат с четырьмя знаками после запятой, причем пятый знак должен быть учтен при округлении. \( I \approx 0,4940 \) Ответ: \[ \int_{0}^{0,5} \frac{dx}{1+x^4} \approx 0,4940 \]