Решение: √5(√180 - √20) по шагам

Решим задачу по шагам, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Задача: Найти значение выражения \( \sqrt{5} \cdot (\sqrt{180} - \sqrt{20}) \). Решение: Шаг 1: Упростим корни внутри скобок. Разложим числа 180 и 20 на множители, чтобы найти полные квадраты. Для \( \sqrt{180} \): \( 180 = 18 \cdot 10 = (9 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 9 \cdot 4 \cdot 5 = 3^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \) Извлечем корни: \( \sqrt{180} = \sqrt{3^2 \cdot 2^2 \cdot 5} = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \) Для \( \sqrt{20} \): \( 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \) Извлечем корни: \( \sqrt{20} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \) Шаг 2: Подставим упрощенные корни обратно в выражение в скобках. \[ \sqrt{180} - \sqrt{20} = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \] Шаг 3: Выполним вычитание в скобках, так как корни одинаковые (подобные слагаемые). \( 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (6 - 2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \) Шаг 4: Теперь умножим \( \sqrt{5} \) на результат из скобок. \[ \sqrt{5} \cdot (4\sqrt{5}) \] Шаг 5: Выполним умножение. \[ \sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 4 \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) \] Мы знаем, что \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \). Значит, \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \). Шаг 6: Завершим умножение. \( 4 \cdot 5 = 20 \) Ответ: Значение выражения равно 20. Запишем решение в тетрадь: Иррациональное выражение Найти значение выражения \( \sqrt{5} \cdot (\sqrt{180} - \sqrt{20}) \). Решение: 1. Упростим корни внутри скобок. а) Упростим \( \sqrt{180} \): Разложим 180 на множители: \( 180 = 36 \cdot 5 = 6^2 \cdot 5 \) Извлечем корень: \( \sqrt{180} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \) б) Упростим \( \sqrt{20} \): Разложим 20 на множители: \( 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \) Извлечем корень: \( \sqrt{20} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \) 2. Подставим упрощенные корни в скобки и выполним вычитание: \[ \sqrt{180} - \sqrt{20} = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (6 - 2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] 3. Умножим \( \sqrt{5} \) на полученный результат из скобок: \[ \sqrt{5} \cdot (4\sqrt{5}) \] 4. Выполним умножение: \[ 4 \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 4 \cdot 5 = 20 \] Ответ: 20