Решение задачи: Вынос множителей из-под корня при a<0 и b>0

Давайте вынесем множители за знак корня, учитывая условия \(a < 0\) и \(b > 0\). Важное правило: \(\sqrt{x^2} = |x|\). Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\). 1. Выражение: \(\sqrt{a^2}\) Решение: По определению, \(\sqrt{a^2} = |a|\). Поскольку дано условие \(a < 0\), то \(|a| = -a\). Ответ: \(-a\) 2. Выражение: \(\sqrt{4a^2b^7}\) Решение: Разложим подкоренное выражение: \(\sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b}\) Вынесем полные квадраты: \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{b}\) Получаем: \(2 \cdot |a| \cdot |b^3| \cdot \sqrt{b}\) Поскольку \(a < 0\), то \(|a| = -a\). Поскольку \(b > 0\), то \(b^3 > 0\), значит \(|b^3| = b^3\). Ответ: \(2 \cdot (-a) \cdot b^3 \cdot \sqrt{b} = -2ab^3\sqrt{b}\) (В предложенных вариантах есть \(ab^3\sqrt{b}\) и \(-ab^3\sqrt{b}\). Если \(2\) не является частью множителя, который нужно вынести, то ответ \(-ab^3\sqrt{b}\) будет верным, если \(2\) уже учтено в вариантах. Давайте перепроверим варианты. В вариантах есть \(-ab^3\sqrt{b}\). Это означает, что \(2\) не является частью множителя, который нужно вынести, или же в задании опечатка и должно быть \(\sqrt{a^2b^7}\). Если же это \(\sqrt{4a^2b^7}\), то правильный ответ \(-2ab^3\sqrt{b}\). Предположим, что в вариантах ответах есть опечатка и имеется в виду \(-ab^3\sqrt{b}\) как один из вариантов, который нужно выбрать, если бы было \(\sqrt{a^2b^7}\). Но если строго следовать заданию, то \(-2ab^3\sqrt{b}\). Давайте посмотрим на предложенные варианты. Есть \(-ab^3\sqrt{b}\) и \(ab^3\sqrt{b}\). Если бы было \(\sqrt{a^2b^7}\), то ответ был бы \(-ab^3\sqrt{b}\). Если же это \(\sqrt{4a^2b^7}\), то \(-2ab^3\sqrt{b}\). Поскольку \(-ab^3\sqrt{b}\) есть в вариантах, выберем его, предполагая, что коэффициент \(2\) либо не учитывается, либо в задании опечатка.) Давайте еще раз внимательно посмотрим на изображение. Там написано \(\sqrt{4a^2b^7}\). Значит, правильный ответ \(-2ab^3\sqrt{b}\). Среди предложенных вариантов есть \(-ab^3\sqrt{b}\) и \(ab^3\sqrt{b}\). Возможно, в задании подразумевается, что нужно выбрать наиболее близкий вариант, или же есть ошибка в вариантах ответа. Если бы было \(\sqrt{a^2b^7}\), то ответ был бы \(-ab^3\sqrt{b}\). Если бы было \(\sqrt{4a^2b^7}\), то ответ \(-2ab^3\sqrt{b}\). Поскольку \(-2ab^3\sqrt{b}\) нет в вариантах, а \(-ab^3\sqrt{b}\) есть, то, скорее всего, в задании опечатка и должно быть \(\sqrt{a^2b^7}\). Будем исходить из того, что нужно выбрать из предложенных вариантов. Если бы было \(\sqrt{a^2b^7}\), то ответ \(-ab^3\sqrt{b}\). 3. Выражение: \(\sqrt{4b^3}\) Решение: Разложим подкоренное выражение: \(\sqrt{4 \cdot b^2 \cdot b}\) Вынесем полные квадраты: \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b}\) Получаем: \(2 \cdot |b| \cdot \sqrt{b}\) Поскольку \(b > 0\), то \(|b| = b\). Ответ: \(2b\sqrt{b}\) 4. Выражение: \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}\) Решение: Разделим корень: \(\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b}}\) Получаем: \(\frac{|a|}{\sqrt{b}}\) Поскольку \(a < 0\), то \(|a| = -a\). Ответ: \(\frac{-a}{\sqrt{b}}\) Сопоставим с предложенными вариантами: * \(\sqrt{a^2}\) соответствует \(-a\) * \(\sqrt{4a^2b^7}\) (если бы было \(\sqrt{a^2b^7}\)) соответствует \(-ab^3\sqrt{b}\) * \(\sqrt{4b^3}\) соответствует \(2b\sqrt{b}\) * \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}\) соответствует \(\frac{-a}{\sqrt{b}}\) Давайте еще раз проверим варианты ответов, которые видны на изображении: * \(2b\sqrt{b}\) * \(a\sqrt{b^7}\) (это не упрощенный вариант) * \(a\) * \(-ab^3\sqrt{b}\) * \(ab^3\sqrt{b}\) * \(-2b\sqrt{b}\) * \(\frac{-a}{\sqrt{b}}\) * \(-a\) * \(\frac{a}{\sqrt{b}}\) Итак, окончательные сопоставления: 1. \(\sqrt{a^2}\) -> \(-a\) 2. \(\sqrt{4a^2b^7}\) -> \(-2ab^3\sqrt{b}\). Если в вариантах нет \(-2ab^3\sqrt{b}\), но есть \(-ab^3\sqrt{b}\), то это может быть ошибкой в задании или вариантах. Если строго следовать заданию, то \(-2ab^3\sqrt{b}\). 3. \(\sqrt{4b^3}\) -> \(2b\sqrt{b}\) 4. \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}\) -> \(\frac{-a}{\sqrt{b}}\) Предполагая, что нужно выбрать из предложенных вариантов, и если \(-2ab^3\sqrt{b}\) отсутствует, а \(-ab^3\sqrt{b}\) присутствует, то, возможно, в задании опечатка и имелось в виду \(\sqrt{a^2b^7}\). В таком случае, для \(\sqrt{a^2b^7}\) ответ будет \(-ab^3\sqrt{b}\). Давайте запишем ответы, которые точно соответствуют вычислениям и присутствуют в списке вариантов: * Для \(\sqrt{a^2}\) ответ \(-a\). * Для \(\sqrt{4b^3}\) ответ \(2b\sqrt{b}\). * Для \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}\) ответ \(\frac{-a}{\sqrt{b}}\). Для \(\sqrt{4a^2b^7}\) правильный ответ \(-2ab^3\sqrt{b}\). Если его нет в списке, то это проблема с вариантами. Если нужно выбрать из того, что есть, и есть \(-ab^3\sqrt{b}\), то это может быть ошибкой в задании.