Решение:

Давайте найдем значение выражения, предварительно избавившись от иррациональности в знаменателе. Выражение: \(\frac{13 - 4\sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7} + 2}{2 - \sqrt{7}}\) Первый шаг: Избавимся от иррациональности во втором слагаемом. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное к \(2 - \sqrt{7}\) будет \(2 + \sqrt{7}\). Второе слагаемое: \(\frac{\sqrt{7} + 2}{2 - \sqrt{7}}\) Умножаем на \(\frac{2 + \sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}}\): \[ \frac{(\sqrt{7} + 2)(2 + \sqrt{7})}{(2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7})} \] Используем формулу разности квадратов в знаменателе: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\). Знаменатель: \(2^2 - (\sqrt{7})^2 = 4 - 7 = -3\). Раскроем скобки в числителе: \[ (\sqrt{7} + 2)(2 + \sqrt{7}) = \sqrt{7} \cdot 2 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 2 \cdot 2 + 2 \cdot \sqrt{7} \] \[ = 2\sqrt{7} + 7 + 4 + 2\sqrt{7} \] \[ = 11 + 4\sqrt{7} \] Теперь второе слагаемое выглядит так: \[ \frac{11 + 4\sqrt{7}}{-3} = -\frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} \] Шаг 2: Подставим это обратно в исходное выражение. \[ \frac{13 - 4\sqrt{7}}{3} - \left(-\frac{11 + 4\sqrt{7}}{3}\right) \] Раскроем скобки, меняя знак: \[ \frac{13 - 4\sqrt{7}}{3} + \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} \] Шаг 3: Теперь у нас общий знаменатель \(3\), поэтому мы можем сложить числители. \[ \frac{(13 - 4\sqrt{7}) + (11 + 4\sqrt{7})}{3} \] \[ \frac{13 - 4\sqrt{7} + 11 + 4\sqrt{7}}{3} \] Шаг 4: Упростим числитель. Заметим, что \(-4\sqrt{7}\) и \(+4\sqrt{7}\) взаимно уничтожаются. \[ \frac{13 + 11}{3} \] \[ \frac{24}{3} \] \[ 8 \] Таким образом, значение выражения равно \(8\). Ответ: \(8\)