Избавление от иррациональности в знаменателе

Давайте освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. 1. Дробь: \(\frac{8}{\sqrt{32}}\) Решение: Сначала упростим знаменатель: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\). Теперь дробь выглядит как \(\frac{8}{4\sqrt{2}}\). Сократим \(8\) и \(4\): \(\frac{2}{\sqrt{2}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} \] Сократим \(2\) в числителе и знаменателе: \(\sqrt{2}\). Ответ: \(\sqrt{2}\) 2. Дробь: \(\frac{15}{\sqrt{18}}\) Решение: Сначала упростим знаменатель: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Теперь дробь выглядит как \(\frac{15}{3\sqrt{2}}\). Сократим \(15\) и \(3\): \(\frac{5}{\sqrt{2}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Ответ: \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) 3. Дробь: \(\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}\) Решение: Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное к \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\) будет \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\). \[ \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \] Используем формулу разности квадратов в знаменателе: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\). Знаменатель: \((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5\). Числитель: \(5(\sqrt{7} + \sqrt{2})\). Теперь дробь выглядит как \(\frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5}\). Сократим \(5\) в числителе и знаменателе: \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\). Ответ: \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\) 4. Дробь: \(\frac{5}{2\sqrt{5} + 5}\) Решение: Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное к \(2\sqrt{5} + 5\) будет \(2\sqrt{5} - 5\). \[ \frac{5}{2\sqrt{5} + 5} \cdot \frac{2\sqrt{5} - 5}{2\sqrt{5} - 5} \] Используем формулу разности квадратов в знаменателе: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\). Знаменатель: \((2\sqrt{5})^2 - 5^2 = (4 \cdot 5) - 25 = 20 - 25 = -5\). Числитель: \(5(2\sqrt{5} - 5)\). Теперь дробь выглядит как \(\frac{5(2\sqrt{5} - 5)}{-5}\). Сократим \(5\) в числителе и знаменателе, оставив минус в знаменателе: \(-(2\sqrt{5} - 5)\). Раскроем скобки: \(-2\sqrt{5} + 5\), или \(5 - 2\sqrt{5}\). Ответ: \(5 - 2\sqrt{5}\) Сопоставим с предложенными вариантами: * \(\frac{8}{\sqrt{32}}\) -> \(\sqrt{2}\) * \(\frac{15}{\sqrt{18}}\) -> \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) * \(\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}\) -> \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\) * \(\frac{5}{2\sqrt{5} + 5}\) -> \(5 - 2\sqrt{5}\)