Упрощение выражения с иррациональностью

Давайте найдем значение выражения, предварительно избавившись от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Выражение: \(\frac{12}{3 - \sqrt{5}} + \frac{66}{\sqrt{3} - 5} - \frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}\) Будем работать с каждой дробью отдельно. 1. Первая дробь: \(\frac{12}{3 - \sqrt{5}}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(3 + \sqrt{5}\): \[ \frac{12}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{12(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{12(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{12(3 + \sqrt{5})}{4} \] Сократим \(12\) и \(4\): \[ 3(3 + \sqrt{5}) = 9 + 3\sqrt{5} \] 2. Вторая дробь: \(\frac{66}{\sqrt{3} - 5}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{3} + 5\): \[ \frac{66}{\sqrt{3} - 5} \cdot \frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5} = \frac{66(\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3})^2 - 5^2} = \frac{66(\sqrt{3} + 5)}{3 - 25} = \frac{66(\sqrt{3} + 5)}{-22} \] Сократим \(66\) и \(-22\): \[ -3(\sqrt{3} + 5) = -3\sqrt{3} - 15 \] 3. Третья дробь: \(\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{3} - \sqrt{5}\): \[ \frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2} \] Сократим \(6\) и \(-2\): \[ -3(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = -3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} \] Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение: \[ (9 + 3\sqrt{5}) + (-3\sqrt{3} - 15) - (-3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \] Раскроем скобки: \[ 9 + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3} - 15 + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5} \] Сгруппируем подобные члены: * Числа: \(9 - 15 = -6\) * Слагаемые с \(\sqrt{5}\): \(3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0\) * Слагаемые с \(\sqrt{3}\): \(-3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0\) Таким образом, все иррациональные части взаимно уничтожаются. Остается только: \(-6\) Ответ: \(-6\)