Решение задачи: Иррациональность в знаменателе

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Задача 10. Сложная. Иррациональность в знаменателе. Найдите значение выражения: \[ \frac{12}{3 - \sqrt{5}} + \frac{66}{\sqrt{3} - 5} - \frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \] Решение: Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение к её знаменателю. Первая дробь: \[ \frac{12}{3 - \sqrt{5}} \] Умножим числитель и знаменатель на \(3 + \sqrt{5}\): \[ \frac{12 \cdot (3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5}) \cdot (3 + \sqrt{5})} = \frac{12 \cdot (3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{12 \cdot (3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{12 \cdot (3 + \sqrt{5})}{4} \] Сократим 12 и 4: \[ 3 \cdot (3 + \sqrt{5}) = 9 + 3\sqrt{5} \] Вторая дробь: \[ \frac{66}{\sqrt{3} - 5} \] Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} + 5\): \[ \frac{66 \cdot (\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3} - 5) \cdot (\sqrt{3} + 5)} = \frac{66 \cdot (\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3})^2 - 5^2} = \frac{66 \cdot (\sqrt{3} + 5)}{3 - 25} = \frac{66 \cdot (\sqrt{3} + 5)}{-22} \] Сократим 66 и -22: \[ -3 \cdot (\sqrt{3} + 5) = -3\sqrt{3} - 15 \] Третья дробь: \[ \frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \] Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} - \sqrt{5}\): \[ \frac{6 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{6 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{6 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{6 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2} \] Сократим 6 и -2: \[ -3 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = -3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} \] Теперь сложим полученные выражения: \[ (9 + 3\sqrt{5}) + (-3\sqrt{3} - 15) - (-3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \] Раскроем скобки: \[ 9 + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{3} - 15 + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5} \] Сгруппируем подобные слагаемые: \[ (9 - 15) + (3\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) + (-3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \] Выполним сложение и вычитание: \[ -6 + 0 + 0 = -6 \] Ответ: \[ -6 \]