Упрощение выражения с корнями: подробное решение

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Упростите выражение: \[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \] В ответ введите квадрат получившегося значения. Решение: Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением их знаменателей, то есть \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\). Это формула разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). Значит, общий знаменатель равен \((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2\). Теперь приведем каждую дробь к этому общему знаменателю. Для первой дроби \(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\) умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{5} - \sqrt{3})\): \[ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} \] \[ = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15} \] Для второй дроби \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\) умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{5} + \sqrt{3})\): \[ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} \] \[ = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} \] Теперь сложим полученные упрощенные выражения: \[ (4 - \sqrt{15}) + (4 + \sqrt{15}) \] \[ = 4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15} \] \[ = 4 + 4 - \sqrt{15} + \sqrt{15} \] \[ = 8 + 0 = 8 \] Мы упростили выражение и получили значение 8. В задании требуется ввести квадрат получившегося значения. Квадрат числа 8: \[ 8^2 = 64 \] Ответ: \[ 64 \]