Задача 15. Средняя
Применяем модули
Найдите значение выражения: \( \sqrt{(x+4)^2} + \sqrt{(x-8)^2} \), если \( -4 < x < 8 \).
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить свойство квадратного корня: \( \sqrt{a^2} = |a| \).
Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении:
\[ \sqrt{(x+4)^2} = |x+4| \]
\[ \sqrt{(x-8)^2} = |x-8| \]
Теперь наше выражение принимает вид: \( |x+4| + |x-8| \).
Далее нам нужно раскрыть модули, учитывая заданное условие: \( -4 < x < 8 \).
Рассмотрим первый модуль, \( |x+4| \):
Из условия \( -4 < x \) следует, что \( x+4 > 0 \).
Поскольку выражение внутри модуля положительно, модуль раскрывается со знаком "плюс":
\[ |x+4| = x+4 \]
Рассмотрим второй модуль, \( |x-8| \):
Из условия \( x < 8 \) следует, что \( x-8 < 0 \).
Поскольку выражение внутри модуля отрицательно, модуль раскрывается со знаком "минус":
\[ |x-8| = -(x-8) = -x+8 \]
Теперь подставим раскрытые модули обратно в выражение:
\[ (x+4) + (-x+8) \]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[ x+4-x+8 \]
\[ (x-x) + (4+8) \]
\[ 0 + 12 \]
\[ 12 \]
Таким образом, значение выражения равно 12.
Ответ: 12.