Задача 10. Найди наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 8 даёт остаток 3. Обоснуй свой ответ.
Решение:
1. Сначала вспомним, что такое трёхзначное число. Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999.
2. Нам нужно найти наименьшее из таких чисел, которое при делении на 8 даёт остаток 3.
3. Запишем это условие в виде формулы. Если число \(N\) при делении на 8 даёт остаток 3, то его можно представить как:
\[N = 8 \cdot k + 3\]где \(k\) — это целое число (частное от деления).
4. Мы ищем наименьшее трёхзначное число. Наименьшее трёхзначное число — это 100.
5. Попробуем найти такое \(k\), чтобы \(N\) было наименьшим трёхзначным числом, удовлетворяющим условию. Для этого подставим 100 в формулу и попробуем найти ближайшее число:
\[100 = 8 \cdot k + 3\] \[100 - 3 = 8 \cdot k\] \[97 = 8 \cdot k\]6. Теперь разделим 97 на 8, чтобы найти \(k\):
\[97 \div 8 = 12 \text{ с остатком } 1\]То есть, \(k = 12\) и остаток 1. Это означает, что \(8 \cdot 12 = 96\). Если мы прибавим 3, получим \(96 + 3 = 99\). Число 99 — это двузначное число, оно нам не подходит.
7. Чтобы получить трёхзначное число, нам нужно взять следующее значение для \(k\). Если \(k = 12\), то \(N = 99\). Значит, нам нужно взять \(k\) на 1 больше, то есть \(k = 13\).
8. Подставим \(k = 13\) в формулу:
\[N = 8 \cdot 13 + 3\] \[N = 104 + 3\] \[N = 107\]9. Проверим это число: 107 — это трёхзначное число. Разделим 107 на 8:
\[107 \div 8 = 13 \text{ с остатком } 3\]Действительно, \(8 \cdot 13 = 104\), и \(107 - 104 = 3\).
Обоснование:
Мы искали наименьшее трёхзначное число. Наименьшее трёхзначное число — 100. Мы представили искомое число \(N\) в виде \(8 \cdot k + 3\). Чтобы \(N\) было наименьшим трёхзначным числом, \(8 \cdot k\) должно быть как можно ближе к 100, но так, чтобы \(8 \cdot k + 3\) было не меньше 100. Если \(k = 12\), то \(8 \cdot 12 + 3 = 96 + 3 = 99\). Это двузначное число. Если мы возьмём следующее целое значение для \(k\), то есть \(k = 13\), то получим: \(8 \cdot 13 + 3 = 104 + 3 = 107\). Число 107 является трёхзначным и при делении на 8 даёт остаток 3. Любое меньшее число, удовлетворяющее условию, будет двузначным (как 99), а любое большее число (например, при \(k=14\), \(8 \cdot 14 + 3 = 112 + 3 = 115\)) не будет наименьшим.
Ответ: 107.