Решение: Упрощение алгебраического выражения

Вот решения всех задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. 1. Выполните действия: \[ \frac{64t^4}{32t^2-20h^2} + \frac{25h^4}{20h^2-32t^2} \] Решение: Заметим, что знаменатели отличаются только знаком. Вынесем минус из второго знаменателя: \[ \frac{64t^4}{32t^2-20h^2} + \frac{25h^4}{-(32t^2-20h^2)} \] \[ = \frac{64t^4}{32t^2-20h^2} - \frac{25h^4}{32t^2-20h^2} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем вычесть числители: \[ = \frac{64t^4 - 25h^4}{32t^2-20h^2} \] Разложим числитель как разность квадратов: \( (8t^2)^2 - (5h^2)^2 = (8t^2 - 5h^2)(8t^2 + 5h^2) \). Разложим знаменатель, вынеся общий множитель 4: \( 4(8t^2 - 5h^2) \). \[ = \frac{(8t^2 - 5h^2)(8t^2 + 5h^2)}{4(8t^2 - 5h^2)} \] Сократим общую скобку \( (8t^2 - 5h^2) \): \[ = \frac{8t^2 + 5h^2}{4} \] Ответ: \( \frac{8t^2 + 5h^2}{4} \) 2. Выполните действия: \[ \frac{9z-8b}{8r-3} + \frac{3z+3b}{3-8r} \] Решение: Заметим, что знаменатели отличаются только знаком. Вынесем минус из второго знаменателя: \[ \frac{9z-8b}{8r-3} + \frac{3z+3b}{-(8r-3)} \] \[ = \frac{9z-8b}{8r-3} - \frac{3z+3b}{8r-3} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем вычесть числители: \[ = \frac{(9z-8b) - (3z+3b)}{8r-3} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{9z-8b-3z-3b}{8r-3} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{(9z-3z) + (-8b-3b)}{8r-3} \] \[ = \frac{6z - 11b}{8r-3} \] Ответ: \( \frac{6z - 11b}{8r-3} \) 3. Выполните действия: \[ \frac{7g+6}{6gs} + \frac{6s-9}{9gs} \] Решение: Найдем общий знаменатель для \( 6gs \) и \( 9gs \). Наименьшее общее кратное для 6 и 9 - это 18. Значит, общий знаменатель \( 18gs \). Домножим первую дробь на 3, вторую на 2: \[ = \frac{3(7g+6)}{3 \cdot 6gs} + \frac{2(6s-9)}{2 \cdot 9gs} \] \[ = \frac{21g+18}{18gs} + \frac{12s-18}{18gs} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем сложить числители: \[ = \frac{21g+18+12s-18}{18gs} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{21g+12s}{18gs} \] Вынесем общий множитель 3 из числителя: \[ = \frac{3(7g+4s)}{18gs} \] Сократим 3 и 18: \[ = \frac{7g+4s}{6gs} \] Ответ: \( \frac{7g+4s}{6gs} \) 4. Выполните действия: \[ \frac{f+1}{f} - \frac{5f-6}{f(f-6)} \] Решение: Общий знаменатель для \( f \) и \( f(f-6) \) - это \( f(f-6) \). Домножим первую дробь на \( (f-6) \): \[ = \frac{(f+1)(f-6)}{f(f-6)} - \frac{5f-6}{f(f-6)} \] Раскроем скобки в числителе первой дроби: \[ (f+1)(f-6) = f^2 - 6f + f - 6 = f^2 - 5f - 6 \] Теперь вычтем числители: \[ = \frac{(f^2 - 5f - 6) - (5f-6)}{f(f-6)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{f^2 - 5f - 6 - 5f + 6}{f(f-6)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{f^2 - 10f}{f(f-6)} \] Вынесем общий множитель \( f \) из числителя: \[ = \frac{f(f-10)}{f(f-6)} \] Сократим \( f \): \[ = \frac{f-10}{f-6} \] Ответ: \( \frac{f-10}{f-6} \) 5. Выполните действия: \[ -\frac{49v}{5y(5y+7v)} + \frac{7}{5y} \] Решение: Общий знаменатель для \( 5y(5y+7v) \) и \( 5y \) - это \( 5y(5y+7v) \). Домножим вторую дробь на \( (5y+7v) \): \[ = -\frac{49v}{5y(5y+7v)} + \frac{7(5y+7v)}{5y(5y+7v)} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем сложить числители: \[ = \frac{-49v + 7(5y+7v)}{5y(5y+7v)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{-49v + 35y + 49v}{5y(5y+7v)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{35y}{5y(5y+7v)} \] Сократим \( 5y \): \[ = \frac{7}{5y+7v} \] Ответ: \( \frac{7}{5y+7v} \) 6. Выполните действия: \[ -\frac{3m}{7m+7} + \frac{21m+4}{49m+49} \] Решение: Разложим знаменатели на множители: \( 7m+7 = 7(m+1) \) \( 49m+49 = 49(m+1) \) Перепишем выражение: \[ = -\frac{3m}{7(m+1)} + \frac{21m+4}{49(m+1)} \] Общий знаменатель для \( 7(m+1) \) и \( 49(m+1) \) - это \( 49(m+1) \). Домножим первую дробь на 7: \[ = -\frac{7 \cdot 3m}{7 \cdot 7(m+1)} + \frac{21m+4}{49(m+1)} \] \[ = -\frac{21m}{49(m+1)} + \frac{21m+4}{49(m+1)} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем сложить числители: \[ = \frac{-21m + (21m+4)}{49(m+1)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{-21m + 21m + 4}{49(m+1)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{4}{49(m+1)} \] Ответ: \( \frac{4}{49(m+1)} \) 7. Выполните действия: \[ -\frac{7v-14}{2v^2+2v} + \frac{21}{2v+2} \] Решение: Разложим знаменатели на множители: \( 2v^2+2v = 2v(v+1) \) \( 2v+2 = 2(v+1) \) Перепишем выражение: \[ = -\frac{7v-14}{2v(v+1)} + \frac{21}{2(v+1)} \] Общий знаменатель для \( 2v(v+1) \) и \( 2(v+1) \) - это \( 2v(v+1) \). Домножим вторую дробь на \( v \): \[ = -\frac{7v-14}{2v(v+1)} + \frac{21v}{2v(v+1)} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем сложить числители: \[ = \frac{-(7v-14) + 21v}{2v(v+1)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{-7v+14+21v}{2v(v+1)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{14v+14}{2v(v+1)} \] Вынесем общий множитель 14 из числителя: \[ = \frac{14(v+1)}{2v(v+1)} \] Сократим \( (v+1) \) и 14 с 2: \[ = \frac{7}{v} \] Ответ: \( \frac{7}{v} \) 8. Выполните действия: \[ \frac{7}{x+9} - \frac{9x-9}{x^2-81} \] Решение: Разложим знаменатель второй дроби как разность квадратов: \( x^2-81 = (x-9)(x+9) \). Перепишем выражение: \[ = \frac{7}{x+9} - \frac{9x-9}{(x-9)(x+9)} \] Общий знаменатель для \( x+9 \) и \( (x-9)(x+9) \) - это \( (x-9)(x+9) \). Домножим первую дробь на \( (x-9) \): \[ = \frac{7(x-9)}{(x-9)(x+9)} - \frac{9x-9}{(x-9)(x+9)} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем вычесть числители: \[ = \frac{7(x-9) - (9x-9)}{(x-9)(x+9)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{7x-63-9x+9}{(x-9)(x+9)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{(7x-9x) + (-63+9)}{(x-9)(x+9)} \] \[ = \frac{-2x-54}{(x-9)(x+9)} \] Вынесем общий множитель -2 из числителя: \[ = \frac{-2(x+27)}{(x-9)(x+9)} \] Ответ: \( \frac{-2(x+27)}{(x-9)(x+9)} \) 9. Выполните действия: \[ \frac{49t^2}{49t^2+84t+36} - \frac{7t}{7t+6} \] Решение: Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом: \( 49t^2+84t+36 = (7t)^2 + 2 \cdot 7t \cdot 6 + 6^2 = (7t+6)^2 \). Перепишем выражение: \[ = \frac{49t^2}{(7t+6)^2} - \frac{7t}{7t+6} \] Общий знаменатель для \( (7t+6)^2 \) и \( 7t+6 \) - это \( (7t+6)^2 \). Домножим вторую дробь на \( (7t+6) \): \[ = \frac{49t^2}{(7t+6)^2} - \frac{7t(7t+6)}{(7t+6)^2} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем вычесть числители: \[ = \frac{49t^2 - 7t(7t+6)}{(7t+6)^2} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{49t^2 - (49t^2+42t)}{(7t+6)^2} \] \[ = \frac{49t^2 - 49t^2 - 42t}{(7t+6)^2} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{-42t}{(7t+6)^2} \] Ответ: \( \frac{-42t}{(7t+6)^2} \) 10. Выполните действия: \[ 4d - \frac{2z+32d^2}{8d} \] Решение: Представим \( 4d \) как дробь со знаменателем 1: \( \frac{4d}{1} \). Общий знаменатель для 1 и \( 8d \) - это \( 8d \). Домножим первую дробь на \( 8d \): \[ = \frac{4d \cdot 8d}{8d} - \frac{2z+32d^2}{8d} \] \[ = \frac{32d^2}{8d} - \frac{2z+32d^2}{8d} \] Теперь у нас общий знаменатель, можем вычесть числители: \[ = \frac{32d^2 - (2z+32d^2)}{8d} \] Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{32d^2 - 2z - 32d^2}{8d} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ = \frac{-2z}{8d} \] Сократим 2 и 8: \[ = -\frac{z}{4d} \] Ответ: \( -\frac{z}{4d} \)