Задача 317.
По горизонтальной поверхности катится без проскальзывания обруч массой 0,5 кг со скоростью 0,6 м/с. Чему равна его кинетическая энергия?
Дано:
Масса обруча \(m = 0,5\) кг
Скорость обруча \(v = 0,6\) м/с
Найти:
Кинетическая энергия \(E_k\) — ?
Решение:
Поскольку обруч катится без проскальзывания, его полная кинетическая энергия состоит из двух частей: кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.
Формула для полной кинетической энергии тела, катящегося без проскальзывания, имеет вид:
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\]где \(m\) — масса тела, \(v\) — скорость центра масс, \(I\) — момент инерции тела относительно оси вращения, \(\omega\) — угловая скорость.
Для обруча (тонкого кольца) момент инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной плоскости обруча, равен:
\[I = mr^2\]где \(r\) — радиус обруча.
Связь между линейной скоростью центра масс и угловой скоростью при качении без проскальзывания:
\[v = \omega r \implies \omega = \frac{v}{r}\]Подставим выражения для \(I\) и \(\omega\) в формулу для кинетической энергии:
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)\left(\frac{v}{r}\right)^2\] \[E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mr^2\frac{v^2}{r^2}\] \[E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2\] \[E_k = mv^2\]Теперь подставим числовые значения:
\[E_k = 0,5 \text{ кг} \cdot (0,6 \text{ м/с})^2\] \[E_k = 0,5 \text{ кг} \cdot 0,36 \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[E_k = 0,18 \text{ Дж}\]Ответ:
Кинетическая энергия обруча равна 0,18 Дж.