Решение предела lim (√(x³+6x²) - x) при x→∞

Решим задачу по нахождению предела. Задача: Найти предел \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - x \] Решение: Это предел вида \( \infty - \infty \), поэтому для его раскрытия воспользуемся формулой разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) Отсюда выразим \( a - b \): \( a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \) В нашем случае: \( a = \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} \) \( b = x \) Тогда: \( a^3 = x^3 + 6x^2 \) \( b^3 = x^3 \) Подставляем в формулу: \[ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - x \right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2})^3 - x^3}{(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2})^2 + \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} \cdot x + x^2} \] \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{(x^3 + 6x^2) - x^3}{(x^3 + 6x^2)^{2/3} + x(x^3 + 6x^2)^{1/3} + x^2} \] \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{6x^2}{(x^3 + 6x^2)^{2/3} + x(x^3 + 6x^2)^{1/3} + x^2} \] Теперь вынесем \( x^2 \) из каждого слагаемого в знаменателе. Из \( (x^3 + 6x^2)^{2/3} \): \( (x^3 + 6x^2)^{2/3} = (x^3(1 + \frac{6}{x}))^{2/3} = (x^3)^{2/3} (1 + \frac{6}{x})^{2/3} = x^2 (1 + \frac{6}{x})^{2/3} \) Из \( x(x^3 + 6x^2)^{1/3} \): \( x(x^3 + 6x^2)^{1/3} = x(x^3(1 + \frac{6}{x}))^{1/3} = x \cdot x (1 + \frac{6}{x})^{1/3} = x^2 (1 + \frac{6}{x})^{1/3} \) Подставляем обратно в предел: \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{6x^2}{x^2 (1 + \frac{6}{x})^{2/3} + x^2 (1 + \frac{6}{x})^{1/3} + x^2} \] Вынесем \( x^2 \) из знаменателя: \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{6x^2}{x^2 \left( (1 + \frac{6}{x})^{2/3} + (1 + \frac{6}{x})^{1/3} + 1 \right)} \] Сократим \( x^2 \): \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{6}{(1 + \frac{6}{x})^{2/3} + (1 + \frac{6}{x})^{1/3} + 1} \] Теперь, когда \( n \to +\infty \), то \( x \to +\infty \). Следовательно, \( \frac{6}{x} \to 0 \). Подставляем это значение: \[ = \frac{6}{(1 + 0)^{2/3} + (1 + 0)^{1/3} + 1} \] \[ = \frac{6}{1^{2/3} + 1^{1/3} + 1} \] \[ = \frac{6}{1 + 1 + 1} \] \[ = \frac{6}{3} \] \[ = 2 \] Ответ: 2