Решение предела lim (x+3)/(2x-5) ^ 6x

Решим задачу по нахождению предела. Задача: Найти предел \[ \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{x+3}{2x-5} \right)^{6x} \] Решение: Сначала найдем предел основания дроби при \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{2x-5} \] Разделим числитель и знаменатель на \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{5}{x}} = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2} \] Теперь найдем предел показателя степени при \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} 6x = +\infty \] Таким образом, мы имеем предел вида \( \left( \frac{1}{2} \right)^{+\infty} \). Поскольку основание \( \frac{1}{2} \) находится между 0 и 1 (то есть \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \)), то при возведении его в степень, стремящуюся к бесконечности, результат будет стремиться к 0. Формально: Если \( \lim_{x \to a} f(x) = L \) и \( \lim_{x \to a} g(x) = \infty \), и \( 0 < L < 1 \), то \( \lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = 0 \). В нашем случае \( L = \frac{1}{2} \), что удовлетворяет условию \( 0 < L < 1 \). Следовательно, \[ \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{x+3}{2x-5} \right)^{6x} = 0 \] Ответ: 0