Найти 'a' в пределе: Решение задачи

Решим задачу по нахождению параметра \( a \). Задача: Найти \( a \), если \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^2 - 18}{ax^4 - 18x^2 + 3} = \frac{1}{2} \] Решение: Для нахождения предела рациональной функции при \( x \to \infty \) (или \( n \to \infty \), как указано в задаче, будем считать, что переменная \( n \) здесь обозначает \( x \)), мы делим каждый член числителя и знаменателя на старшую степень \( x \). В данном случае старшая степень \( x \) в числителе и знаменателе - это \( x^4 \). Разделим числитель и знаменатель на \( x^4 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^4}{x^4} + \frac{3x^2}{x^4} - \frac{18}{x^4}}{\frac{ax^4}{x^4} - \frac{18x^2}{x^4} + \frac{3}{x^4}} \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^2} - \frac{18}{x^4}}{a - \frac{18}{x^2} + \frac{3}{x^4}} \] Теперь применим свойство предела: если \( x \to \infty \), то \( \frac{C}{x^k} \to 0 \) для любой константы \( C \) и \( k > 0 \). Таким образом: \( \frac{3}{x^2} \to 0 \) \( \frac{18}{x^4} \to 0 \) \( \frac{18}{x^2} \to 0 \) \( \frac{3}{x^4} \to 0 \) Подставляем эти значения в предел: \[ = \frac{5 + 0 - 0}{a - 0 + 0} = \frac{5}{a} \] По условию задачи, этот предел равен \( \frac{1}{2} \): \[ \frac{5}{a} = \frac{1}{2} \] Чтобы найти \( a \), умножим обе части уравнения на \( 2a \): \( 5 \cdot 2 = a \cdot 1 \) \( 10 = a \) Итак, значение \( a \) равно 10. Ответ: 10